Matek háziban segítség?

1. Tudjuk, hogy azonos alapú logaritmusok összeadásánál az argumentumokat összeszorozzuk, tehát így változik a feladat:

1/(log(2)(1*2*3*...*n)+1/(log(3)(1*2*3*...*n)+...+1(log(n)(1*2*3*...*n)

Ezek a szorzatok a jól ismert n!-sok lesznek, így

1/(log(2)n!)+1/(log(3)n!)+...+1/(log(n)n!)

Tudjuk ezt az összefüggést: log(a)b=1/(log(b)a), így:

(log(n!)2)+(log(n!)3)+...+(log(n!)n)

Megint tudjuk alkalmazni az előbbi szorzatos képletet:

log(n!)(2*3*...*n), ami pontosan log(n!)(n!)-sal egyenlő, aminek az értéke 1.

4. Tudjuk, hogy minden nem nulla szám 0. hatványa 1, ezért

(x-4)^(x^2+x-6)<(x-4)^0

Mivel az x^x alakú függvényeket ott nem értelmezzük, ahol az alap negatív, ezért a ]4;végtelen[ mindkét oldalon nyílt intervallum lesz az értelmezési tartomány.

Két esetet különböztethetünk meg.

I. eset: az alap 1-nél kisebb tört, vagyis 0<x-4<1, tehát 4<x<5, ekkor a kitevőnek 1-nél nagyobbnak kell lennie, vagyis

x^2+x-6>1

x^2+x-7>0

Érdemes szorzatalakba felírni, ehhez tudnunk kell a gyökeit:

x^2+x-7=0, x1;2=(-7+-gyök(29))/2

(x+(7+gyök(29))/2)(x+(7-gyök(29))/2)>0

Ez akkor lesz pozitív, ha a szorzat mindkét tényezőjének megegyezik az előjele. Ezt rád bízom.

II. eset: az alap 1-nél nagyobb, ekkor a kitevőnek negatívnak kell lennie, ezt az előző esethez hasonlóan kell elvégezni.