Halmazok gyökkel és logaritmussal (? )

(1) Tudjuk, hogy négyzetgyököt csak nemnegatív számból tudunk vonni, ezért felírható ez az egyenlőtlenség:

2sin^2(Pi*x)−cos*(Pi*x)−1>=0

Ismert ez az azonosság: sin(k*x)^2+cos(k*x)^2=1, tetszőleges k számra, innen sin^(k*x)=1-cos^2(k*x), ezt írjuk át az egyenletben a sin^(Pi*x) helyére:

2(1-cos^2(Pi*x))-cos(Pi*x)-1>=0 /zárójelbontás

2-2cos^2(Pi*x)-cos(Pi*x)-1>=0 /összevonás; 2-1=1

-2cos^2(Pi*x)-cos(Pi*x)+1>=0 /legyen g=cos(Pi*x)

-2g^2-g+1>=0, innen 2g^2+g-1<=0

Írjuk át a bal oldalt szorzatalakba, ehhez kellenek az egyenlet gyökei: Megoldóképletből x1=-1, x2=1/2, így a szorzatalak: 2(g+1)(g-1/2)<=0, vagyis (g+1)(g-1/2)<=0

Ez a szorzat akkor lesz kisebb, mint 0, vagyis negatív, ha pontosan az egyik tényezője negatív:

I. eset: g+1>=0 és g-1/2<=0, vagyis g>=-1 és g=<1/2, tehát g értéke a [-1;1/2] intervallumon van.

II. eset: g+1<=0 és g-1/2>=0, vagyis g<=-1 és g>=1/2, mivel így nincs olyan g, ami egyszerre teljesítené a két egyenlőtlenséget, ezért ez az eset nem áll fenn.

Tehát az egyenlőtlenség megoldása: -1<=g<=1/2. Mivel g=cos(Pi*x) volt, ezért -1<=cos(Pi*x)<=1/2, ezt a két egyenlőtlenséget kell megoldanunk:

cos(Pi*x)>=-1

Ez tetszőleges x-re igaz, mivel a függvény értékkészlete a [-1;1] intervallum.

cos(Pi*x)<=1/2

Ezt az egyenletet vagy úgy oldjuk meg, hogy ábrázoljuk, és látjuk, hogy hol a megoldás, vagy használjuk az egységkört; a kiindulási pontnál cos(Pi*x)=cos(Pi*0°)=cos(0°)=1 az értéke. Kezdjük el forgatni pozitív irányba, vagyis az óramutató járásával ellentétesen azt a bizonyos egységvektort, amíg a cos(x) értéke nem lesz 1/2, ez 60°-nál fog bekövetkezni. Ha tovább forgatunk, akkor a cos(x) függvény értéke csökken, majd egy idő után nőni fog, mígnem elérünk a másik 1/2-es értékhez, ami 300°-nál lesz. Tehát 60°<=x<=300°-ra a függvény 1/2-nél kisebb lesz. Viszont most nekünk cos(Pi*x) függvényünk van, tehát ezeket oszthatjuk Pivel, így 60°/Pi<=x<=300/Pi a függvény értelmezési tartománya, de mivel továbbforgatva azt a vektort (akár többször is), mindig vissza fogunk jutni a jó megoldásokhoz, méghozzá 360°-onként, ezért tetszőleges egész k-ra (60°+k*360°)/Pi<=x<=(300°+k*360°)/Pi lesz a teljes értelmezési tartomány. De itt még mindig nem állhatunk meg, mivel általában egyenletmegoldásnál valós számokkal kell számolnunk, de a fokok nem valós számok, tehát át kell váltanunk radiánba. Tudjuk, hogy 2*Pi=360°,így egyenes arányossággal 60°=2*Pi/6=Pi/3 és 300°=2*Pi-Pi/3=5*Pi/3, ezért az értelmezési tartomány így módosul: (Pi/6+k*2*Pi)/Pi<=x<=(5*Pi/6+k*2*Pi)/Pi, vagyis Pivel egyszerűsítve 1/6+2*k<=x<=5/6+2*k, tetszőleges k egészre (de fontos, hogy a k egész legyen!).

Ezzel az elsővel megvagyunk. Jöhet a másik:

(2) Logaritmus argumentuma mindig pozitív, ezért megint felírható az egyenlet:

−3x^2+17x−10>0, vagyis 0>3x^2-17x+10, most is kell a szorzatalak, ahhoz pedig a gyökök, megoldóképletből: x1=5, x2=2/3, vagyis 0>3(x-5)(x-2/3), így 0>(x-5)(x-2/3). Ugyanúgy, mint az előbb, ez akkor lesz negatív, ha az egyik tényező páratlan:

1. eset: x-5>0 és x-2/3<0, vagyis x>5 és x<2/3, látható, hogy nincs megoldás, tehát ez az eset nem fog bekövetkezni

2. eset: x-5<0 és x-2/3>0, vagyis x<5 és x>2/3, itt látható, hogy x értéke a (2/3;5) mindkét oldalon nyílt intervallumon van, így az eredeti függvény értékkészlete is a (2/3;5) intervallum.

a) A∩B; szükségünk van arra az intervallumra, ami mindkettőben benne van, ez az intervallum a (2/3;5/6] balról nyílt intervallum (rajzold le, és meglátod).

b) B\A; az az intervallum kell, ami csak a B intervallumában vannak. A rajzból itt is kiderül, hogy az (5/6;5) mindkét oldalon nyílt intervallum a megoldás.