Térgeometria feladatban segitenétek?

Oldalfelező pont: olyan pont, ami a síkidom oldalát két egyenlő részre osztja.

Első körben szükségünk van a középpont és az oldalfelező pontok távolságára, ennek kiszámolásához kössük össze a csúcsokat a középponttal. Mivel szabályos sokszögről van szó, ami egyébként húrsokszög (vagyis rajzolható kör köré úgy, hogy a kör kerülete áthalad minden csúcson), ezért ezek a szakaszok egyenlő hosszúak (kvázi a köré írt kör sugarai), vagyis ezek 6 egyenlő szárú háromszögre bontják a hatszöget. Ha ezt tudjuk, akkor a középponti szög kiszámolható; mivel a kör középponti szöge 360°, és ezt a szöget a háromszögek 6 egyenlő részre osztják, ezért a háromszögek a hatszög középpontjánál lévő szöge 60°. Mivel ezek egyenlő szárú háromszögek, ezért a másik két szög egyenlő nagyságú (Ł), ráadásul a háromszög belső szögeinek összege 180°, ezért

60°+2Ł=180°, innen Ł=60°, tehát a háromszög mindhárom szöge 60°-os, vagyis nem csak egyenlő szárú, hanem szabályos háromszög.

Ha már tudjuk ezt, kiszámolható ennek a háromszögnek a magasságvonala, ami megegyezik a középpont és az oldalfelező pont távolságával. Ha behúzzuk a magasságvonalat, akkor két derékszögű háromszöget kapunk; átfogója a csúcs-középponti szakasz, ami mivel egy 8 cm-es szabályos háromszög egyik oldala, ezért 8 cm, befogói a magasságvonal (m) és az erre merőleges oldal fele (mivel az egyenlő szárú háromszögben az alaphoz tartozó magasság felezi az alapot), erre felírható a Pitagorasz-tétel:

m^2+4^2=8^2

m^2+16=64 /-16

m^2=48, innen m=gyök(48)

Most tükrözzük a középpontot, ekkor a középpont és a tükörképe közötti távolság megduplázódik, vagyis 2*gyök(48) lesz.

Kössük össze az új pontokat, hogy hatszöget kapjunk, majd ezeket a régi középponttal. Ugyanazt a felosztást kapjuk, mint amivel már volt egyszer dolgunk; 6 szabályos háromszög, ahol most minden oldal 2*gyök(48) hosszú. Az előző módszerrel számoljuk ki a háromszög magasságvonalát, itt az átfogó 2*gyök(48) lesz, a két befogó M és 2*gyök(48)=gyök(48). Pitagorasz-tétel:

(gyök(48))^2+M^2=(2*gyök(48))^2

48+M^2=4*48

48+M^2=192 /-48

M^2=144, innen M=12.

Tudjuk, hogy a 6-szög területét megkapjuk, ha az egyik háromszög területét megszorozzuk 6-tal. Háromszög területe: alap*magasság/2=2*gyök(48)*12/2=12*gyök(48) cm^2, innen a hatszög területe: 6*12*gyök(48)=72*gyök(48)=~498,83=~500 cm^2

Kész vagyunk.

(Megjegyzés: ez a feladat nem térgeometriai, hanem síkgeometriai)

Egy jó rajz sokat segít. :-)

Ha felrajzolod a megoldást, kiderül, hogy a nagy hatszög területe 18 db 8 cm oldalú egyenlő oldalú háromszög területével egyenlő, vagyis a területe:

T = (18*√3/4)*8²

T = 498,83... cm²

kerekítve

T ≈ 500 cm²

=========

DeeDee

**********