Matek feladat, valaki segítség?

1. cos(2x)=sin(x)+cos(x) /tudjuk, hogy cos(2x)=cos^2(x)-sin^(x)

cos^2(x)-sin^2(x)=sin(x)+cos(x /tudjuk, hogy a^2-b^2=(a+b)(a-b), ezt kell használnunk a bal oldalon

(cos(x)+sin(x))(cos(x)-sin(x))=sin(x)+cos(x) /-(sin(x)+cos(x))

(cos(x)+sin(x))(cos(x)-sin(x))-(sin(x)+cos(x))=0 /emeljünk ki (sin(x)+cos(x))-et

(sin(x)+cos(x))(cos(x)-sin(x)-1)=0

A bal oldalon egy szorzat van, ami akkor lesz 0, ha valamelyik tényezője 0, így vagy

sin(x)+cos(x)=0 /-cos(x)

sin(x)=-cos(x) /mivel -cos(x)=0-ra sin(x)≠0, ezért az nem megoldás, így oszthatunk cos(x)-szel:

tg(x)=-1, amire x=3π/4+k*π (k tetszőleges egész)

vagy

cos(x)-sin(x)-1=0 /+1+sin(x)

cos(x)=1+sin(x) /négyzetre emelünk

cos^2(x)=1+2sin(x)+sin^2(x) /mivel sin^2(x)+cos^2(x)=1, ezért cos^2(x)=1-sin^2(x)

1-sin^2(x)=1+2sin(x)+sin^2(x) /-1+sin^2(x)

0=2sin(x)+2sin^(x) /:2

0=sin(x)+sin^(x) /kiemelünk sin(x)-et

0=sin(x)(1+sin(x))

Megint a szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, vagyis vagy

sin(x)=0, amire x=0+k*π (k tetszőleges egész), vagy

1+sin(x)=0, amire sin(x)=-1, amire x=3π/2+k*2π (k tetszőleges egész)

Vissza kellene helyettesíteni, hogy melyik jó és melyik nem, ezt Rád bízom.

2. cos(x)(sin(x)+tg(x))-sin(2x)/2=1

Kikötés: tg(x) nincs értelmezve 90°-nál, vagyis π/2-nél, így x=π/2+k*π (k tetszőleges egész)

Bontsuk ki a zárójelet:

sin(x)*cos(x)+sin(x)-sin(2x)/2=1 /tudjuk, hogy sin(2x)=2*sin(x)*cos(x)

sin(x)*cos(x)+sin(x)-2*sin(x)*cos(x)/2=1 /egyszerűsítünk

sin(x)*cos(x)+sin(x)-sin(x)*cos(x)=1 /összevonunk

sin(x)=1, amire x=π/2+k*2π (k tetszőleges egész)

A megoldás ellentmond a kikötésnek, így az egyenletnek nincs megoldása.

3. 1+tg^2x=1/cos^2x

Kikötés: cos(x)≠0, így x≠π/2+k*π (k tetszőleges egész)

Szorozzunk cos^2(x)-szel

cos^2(x)+sin^2(x)=1

Való igaz, ez egy azonosság, csak annyi a különbség, hogy az eredeti egyenlet bizonyos helyeken nincs értelmezve, egyébként azokat leszámítva az egyenletnek végtelen sok megoldása van tetszőleges periódusban (ezt jelenti az azonosság).