Bizonyítsd be, hogy a gyök 2 irracoinális szám?

Szerintem ezen nincs sok bizonygatni való.

Irracionális szám: nem írható fel 2 egész szám hányadosaként. Nahát a gy√2 pont ilyen :)

A gyök 2 irracionális szám

Indirekt bizonyítás, azaz azt fogjuk bizonyítani, hogy nem lehet racionális. A bizonyítás Eukleidész-től származik.

Bizonyítás:

Tételezzük fel, hogy racionális, azaz felírható két egész szám hányadosaként, a/b alakban, ahol a, b egész számok, és b nem nulla. Azt is feltételezhetjük, hogy (a,b)=1, azaz egymáshoz képest relatív prímek, azaz a tört tovább nem egyszerűsíthető.

gyök2= a/b

Az egyenlőség mindkét oldalát négyzetre emelve

2=a^2/b^2

Az egyenlőséget b^2-tel szorozva: 2b^2= a^2.

Tehát a^2 osztható 2-vel, de akkor "a" is , a=2c alakban felírható, így a^2=4c^2.

Ebből: 2b^2=49c^2, azaz b^2=4c^2.

Azaz b^2 osztható 2-vel , tehát "b" is, ami nem lehetséges, hiszen feltételeztük, hogy a és b egymáshoz képest relatív prímek.

Ellenmondásra jutottunk, a kiinduló feltételezésünk hibás, gyök 2 nem lehet racionális szám.

Állítás: √2 irracionális szám.

Bizonyítás: indirekt módszerrel.

Feltesszük az állítás tagadását és erről bebizonyítjuk, hogy ellentmondáshoz vezet.

Mivel így az állítás tagadása hamis lesz, ezért az eredeti állítás bizonyított.

Indirekt feltevés: √2 racionális szám.

Így √2 felírható két egész szám hányadosaként, amelyek egymáshoz relatív prímszámok (azaz legnagyobb közös osztójuk 1).

√2 = a/b, ahol a és b egész számok, (a, b) = 1, b ≠ 0

Négyzetre emelünk és szorzunk b²-tel: 2b² = a²

Eszerint a² páros szám, ami csak úgy lehet, ha 'a' is páros: a = 2k, k egész szám

Behelyettesítünk: 2b² = (2k)² --> 2b² = 4k² --> b² = 2k²

Vagyis a b is páros kell, hogy legyen.

De ha az 'a' is páros, a b is páros, akkor nem relatív prímek, ez ellentmondás, tehát az indirekt feltevés hamis --> az eredeti állítás igaz.

q.e.d.