Analízis, végtelen sorozat összege!?

Itt az a lényeg, hog ya nevező szorzattá alakítható:

n^2+7n+10=(n+2)(n+5)

Azután teljesül a következő algebrai összefüggés:

1/x-1/(x+3)=3/[x(x+3)]

Ez alapján:

1/(n+2)-1/(n+5)=3/[(n+2)(n+5)]

Így ha a sor tagjait 3-mal bővítjük:

3/[5*8]+3/[6*9]+3/[7*10]+3/[8*11]+3/[9*12]...=

=1/5-1/8 + 1/6-1/9 + 1/7-1/10 + 1/8-1/11 + 1/9-1/12 ...

Látszik, hogy néhány kivétellel mindennek megvan az ellentettje is (5 taggal odébb). A következők maradnak:

1/5 + 1/6 + 1/7

összevonva: 107/210

viszont ez a 3-szorosa az összegnek, így azeredeti sor összege:

107/630