Miért van 2 megoldás? (geometria)

Ez így nem pontos; akkor lehet több megoldás, ha a legnagyobb oldallal szemközti szög nincs megadva, pontosan azért, mert a szinusztétel felírása után az egyenlet végére

sinŁ=k, ahol k egy szám:

ha k>1, akkor az egyenletnek nincs megoldása

ha 0<k≤1, akkor van megoldása az egyenletnek (ha háromszög szögéről van szó); azért lehet két megoldása, mivel a szög szinusza tompaszög esetén is pozitív, viszont számológépbe beütve csak a hegyesszögű megoldást kapjuk meg.

Ha nem a legnagyobb szög van megadva, akkor mindkét megoldással kell számolnunk, a végén ellenőrizni kell azt, hogy ha az a oldallal szemben Ł (alfa), a b oldallal szemben ß (béta), a c oldallal szemben y (gamma) szög van, akkor a≤b≤c-re Ł≤ß≤y-nak teljesülnie kell (érthetően: nagyobb oldalhoz nem tartozhat kisebb szemközti szög).

A feladat: írjuk át tizedesfokba a szöget: 58°42'=58,7° (aránypárral: 60'=1°, akkor 42/60-dal szorozzuk a 60'-ot, hogy 42'-hoz jussunk, ekkor az 1°-ot is kell: 1*42/60=42/60=0,7°).

Használjuk a szinusztételt:

sin(Ł)/sin(58,7°)=7/6, ebből sin(Ł)=0,996868635 (számológéppel, neked is ennek kellett kijönnie), ezzel számolva Ł=85,46°, DE a második negyedben is van megoldás, ott pedig 180°-85,46°-kal kell számolnunk, tehát 94,54° is lehet a 7cm-essel szemközt.

Ekkor a harmadik szög a háromszög belső szögeinek összegére vonatkozó tétel miatt 180°-58,7°-94,54°=26,76°.

Számoljuk ki a harmadik oldalt, ismét szinusz-tétellel:

sin(26,76°)/sin(58,7°)=c/6, innen c=3,16cm.

Igaznak kell lennie a már fent leírt megállapításnak: 3,16<6<7, 26,76°<58,7°<94,54°, teljesül, tehát ilyen háromszög létezik (és ez egy tompaszögű háromszög).

A lényeg, hogy egy adott sinus értékhez (ha nem 1) két különböző szög is tartozik a 0-180 fok tartományból.

A másik indok, ha elkezded megszerkeszteni a három adatból, ott jobban látszik, hogy az egyik rajzolt kör két pontban metszi az egyik félegyenest, és ez két jó megoldást ad.