Adott egy másodfokú egyenlet 3 ismeretlennel, melynek tudjuk az egyik megoldását. Az egyenlet egyik valós gyöke: a+b Az egyenlet: wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP3912127g07b31af906d000056i 8cf4eb031i464? MSPStoreType=image/gif&s=40&w=140. &h=18.

Szóköz volt benne. Ez az, ugye?

x² − kx + a²−b² = 0

Írd fel a megoldóképletet:

x₁₂ = (k ± √(k² − 4·(a²−b²))) / 2

x₁₂ = k/2 ± √((k/2)² − a² + b²)

Ha kicsit nézed ezt az egyenletet, látszik, hogy ha k/2 = a, akkor x₁₂ = a ± √b² = a ± |b|

Ami a+b vagy a−b

x helyére be kell írni a megadott gyököt:

(a+b)^2-k(a+b)+a^2-b^2=0

Tudjuk, hogy (a^2-b^2)=(a+b)*(a-b):

(a+b)^2-k(a+b)+(a+b)(a-b)=0

Ha a+b=0, akkor 0=0-át kapjuk, ilyenkor tetszőleges k-ra jó lesz a megoldás.

Ha a+b>0, akkor a+b-vel osztva az előjelek maradnak:

a+b-k+a-b=0, amire k=2a, tehát k=2a esetén az egyenlet megoldása a+b lesz (amennyiben a+b>0).

Ha a+b<0, akkor az előjelek változnak:

-a-b+k-a+b=0, amire szintén k=2a-t kapunk.

Tehát ha k=2a, akkor a gyöke lesz az egyenletnek az a+b.

Jogos #6 megoldásában, hogy az a+b=0 esetet külön vizsgálni kell, és olyankor k tetszőleges. Én erre nem gondoltam...

Megjegyzés #6-hoz: Nem kell vizsgálni, hogy a+b pozitív vagy negatív-e, nem fordul meg semmilyen előjel osztáskor. A negatívval osztás csak egyenlőtlenségkor kezelendő külön.

Szóval az előjeles megfontolástól eltekintve teljesen jó a #6-os megoldás, de azért az enyémet továbbviszem, mert az a gyors, "ránézésre is látszik" megoldás nem teljes.

Előrebocsátom, hogy a #6 megoldás egyszerűbb.

x₁₂ = k/2 ± √((k/2)² − a² + b²)

Két eset lehet: x₁ vagy x₂ egyenlő a+b-vel:

a) x₁ = a+b

a+b = k/2 + √((k/2)² − a² + b²)

a+b − k/2 = √((k/2)² − a² + b²)

Kikötés: k/2 ≤ a+b lehet csak a megoldás, mert a jobb oldal (négyzetgyök) pozitív.

Emeljünk négyzetre: (mindkét oldal pozitív, nem jön be hamis gyök)

a²+b²+2ab − (a+b)k + (k/2)² = (k/2)² − a² + b²

2a² + 2ab = (a+b)k

2a(a+b) = (a+b)k

Ennek a megoldásai:

- a+b = 0 esetén k tetszőleges nempozitív szám (hisz k/2 ≤ a+b = 0)

- a+b ≠ 0 esetén k=2a, de mivel k ≤ 2a+2b, ezért b≥0 esetén van csak ilyen megoldás

b) x₂ = a+b

a+b = k/2 − √((k/2)² − a² + b²)

√((k/2)² − a² + b²) = k/2 − (a+b)

Kikötés: k/2 ≥ a+b (hogy a jobb oldal is pozitív legyen)

(k/2)² − a² + b² = (k/2)² − k(a+b) + a²+b²+2ab

k(a+b) = 2a² + 2ab = 2a(a+b)

Ennek a megoldásai:

- a+b = 0 esetén k tetszőleges nemnegatív szám (hisz k/2 ≥ a+b = 0)

- a+b ≠ 0 esetén k=2a, de mivel k ≥ 2a+2b, ezért b≤0 esetén van csak ilyen megoldás

Vagyis összevonva az a) és b) eseteket, az összes megoldás ez:

- a+b = 0 esetén k tetszőleges szám (pozitív vagy negatív vagy 0 is)

- a+b ≠ 0 setén k=2a; b tetszőleges