Egy hegyesszög tangense 2/3. A szinuszát és a koszinuszát hogyan tudjuk megkapni?

Hát, mivel a tangens az adott intervallumban szig. mon. nő, elég egyértelműen. Akár úgy is, hogy kikeresed először a hozzá tartozó szöget...

De ha kinyitod a függvénytáblázatodat, találsz benne egy csomó összefüggést egy szög különböző szögfüggvényei között, abban van a vitamin.

Ismerjük azt az összefüggést, hogy tg(x)=sin(x)/cos(x), tehát ha tg(x)=2/3, akkor sin(x)/cos(x)=2/3. Ha ezt sin(x)-re rendezzük, akkor sin(x)=2*cos(x)/3-at kapunk.

Egy másik ismert összefüggés: (sin(x))^2+(cos(x))^2=1. Ebbe az összefüggésbe kell beírnunk sin(x) "értékét", vagyis 2*cos(x)/3-at:

(2*cos(x)/3)^2+(cos(x))^2=1

Az egyszerűség kedvéért legyen cos(x)=m:

(2*m/3)^2+m^2=1

4*m^2/9+m^2=1 /m^2=9*m^2/9

4*m^2/9+9*m^2/9=1 /összevonás

13*m^2/9=1 /*9; :13

m^2=9/13, gyökvonás után

m=3/gyök(13), vagy

m=-3/gyök(13).

Most írjuk vissza m helyére cos(x)-et:

cos(x)=3/gyök(13), ez lehet, mivel a hegyesszög koszinuszfüggvény-értéke pozitív és 1-nél kisebb, 3/gyök(13) pedig pont megfelel ezeknek a kitételeknek.

cos(x)=-3/gyök(13) nem lehet, mivel a hegyesszög koszinusza pozitív.

Tehát cos(x)=3/gyök(13).

Tudjuk, hogy sin(x)=2*cos(x)/3, ide beírva cos(x) értékét

sin(x)=2*3/gyök(13)/3=2/gyök(13) szinuszértéket kapjuk.

Ellenőrzésként beírható a két megoldás a (sin(x))^2+(cos(x))^2=1 azonosságba:

(2/gyök(13))^2+(3/gyök(13))^2=4/13+9/13=1, ami igaz, így a megoldás jó.

Legegyszerűbben pedig így:

[link]