Polinomok osztása. Hogyan lehet megoldani a képen látható feladatot?

A 7 prímszám, így a Z₇ egy test, abban minden számnak van inverze. Z₆ viszont nem nullosztómentes, ott lehetnek gondok a polinomosztással.

Z₇-ben:

Először érdemes pozitív együtthatósra alakítani mindegyik tagot:

f(x) = x³ - 3x² - x - 1 ≡ x³ + 4x² + 6x + 6

g(x) = 3x² - 2x + 1 ≡ 3x² + 5x + 1

A modulo 7-es összeadó-táblát még csak tudja az ember fejből (az előbb is használtuk), de a szorzótáblát érdemes felírni:

   1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6

2 2 4 6 1 3 5

3 3 6 2 5 1 4

4 4 1 5 2 6 3

5 5 3 1 6 4 2

6 6 5 4 3 2 1

x³ + 4x² + 6x + 6 : 3x² + 5x + 1 = 5x

hiszen 1 osztva 3-mal a fenti táblázat szerint 5; vagyis a 3-as sorában kellett keresni 1 értéket, az az oszlop lesz a 3·n ≡ 1 megoldása (3·5 ≡ 1)

Visszaszorozva (megint a szorzótáblát érdemes használni, bár ez még fejből is mehet)

x³ + 4x² + 5x

ezt levonva marad:

x + 6

Ennek a foka már kisebb g(x) fokánál, kész vagyunk, ez a maradék.

Z₆-ban:

f(x) = x³ - 3x² - x - 1 ≡ x³ + 3x² + 5x + 5

g(x) = 3x² - 2x + 1 ≡ 3x² + 4x + 1

A szorzótábla:

   1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5

2 2 4 0 2 4

3 3 0 3 0 3

4 4 2 0 4 2

5 5 4 3 2 1

x³ + 4x² + 6x + 6 : 3x² + 5x + 1 = ...

3·n ≡ 1 kellene: a 3-as sorában nincs 1 a szorzótáblában, nem lehet elvégezni az osztást.

Z₃-at is kérdezted:

f(x) = x³ - 3x² - x - 1 ≡ x³ + 2x + 2

g(x) = 3x² - 2x + 1 ≡ x + 1

Kiesett a 3x² mindkettőből, hisz 3 ≡ 0 (mod 3)

A szorzótábla:

   1 2

1 1 2

2 2 1

x³ + 2x + 2 : x + 1 = x²

visszaszorozva: x³ + x²

kivonva marad: 2x² + 2x + 2 (2x² lett, mert -1 ≡ 2)

2x² + 2x + 2 : x + 1 = 2x

2x² + 2x

- - - - - -

kivonva a maradék 2, annak foka már kisebb 1-nél, tehát ez az osztás maradéka.

x³ + 2x + 2 = (x + 1)·(x² + 2x) + 2

Bocs, Z₆-nál elrontottam, az a fránya copy-paste... másoltam a polinomokat...

Ez az igazi:

x³ + 3x² + 5x + 5 : 3x² + 4x + 1 = ...

A lényegen nem változtat a hiba, mert most is 1/3-ot kellene csinálni, ami nincs Z₆-ban.