Hogyan kell ezeket megoldani? (Lineáris algebra)

Az elsőt nem lehet így jól látni, küldj egy fotót.

2)

A sajátértékes egyenlet ez:

A·x = λ·x

Most λ=1

A·x = x

(A − 1·I)x = 0

Ezt az egyenletrendszert kellene megoldani, ebből jönnek ki a sajátvektorok.

Az 1·I levonása miatt kell egy olyan mátrixot csinálni, ahol a főátlóból levonunk 1-eket.

[-3 2 1]

[-2 2 1]

[-2 2 1]

A két utolsó sor egyforma, tehát az utolsó sor tuti nem ad újat. Ha Gauss eliminációt csinálunk a mátrixon (csináld meg), akkor két nem nulla sor marad.

Gimiben ezt úgy mondtátok, hogy a 3 ismeretlenhez csak 2 egyenlet van, nem oldható meg az egyenletrendszer. Itt meg úgy mondjuk, hogy a mátrix rendje 2, van az egyenletrendszernek egy szabad változója.

Ez a Gauss elimináció vége mondjuk (lehet, hogy neked más jött ki, az is lehet jó):

[0 2 1]

[1 0 0]

[0 0 0]

Ha ezt B mátrixnak hívjuk, akkor ez lett az egyenletrendszer:

B·x = 0

Na most az x vektor általános alakban ez:

[r]

[s]

[t]

"Normálisan" (vagyis gimis módon) felírva az egyenletrendszert ezt kapjuk:

0 + 2s + t = 0

r +  0 + 0 = 0

0 + 0 + 0 = 0

Ha nem látod jól a mátrixot, érdemes ilyen alakba átírni, egyszerűbb így.

Ez jön ki belőle:

r = 0

t = -2s

Vagyis mondjuk az s lehet a szabad változó, a többi utána már kötött lesz. A sajátvektorok ilyenek:

[0]

[s]

[-2s]

Vagyis x = s·[0 1 -2] (most sorvektornak írtam, de oszlopvektornak kellett volna, csak itt az nehéz...), ahol s tetszőlegesen megválasztható.

A [0 1 -2], vagy ennek konstans szorosa lehet a sajátaltér bázisának egyetlen vektora.

Mondhattuk volna azt is, hogy a t legyen a szabad változó, akkor így alakul:

r = 0

s = -t/2

A vektor pedig:

[0]

[-t/2]

[t]

Vagyis x = t·[0 -1/2 1]

Ez a [0 -1/2 1], vagy annak konstans-szorosa (mondjuk mínusz 2-szerese), oszlopvektor alakban szintén lehet a bázis egyetlen vektora. A mínusz kétszerese éppen az előző megoldás, szóval praktikusan ugyanaz jött ki.