Hogyan lehet megoldani a következő határértékes feladatot?

szerintem: a-nál:

az 1/n és a 2/n a négyzeten nullához tart. Az első tag az 1 az egyhez, egy az n-ediken pedig 1.

b-nél: Az az egész tört a nullához fog tartani, mert a vezető tag (n^2) a nevezőben van. bárhanyafik gyök alatt nulla meg nulla.

c-nél: végtelen. Mert a számlálóban a négyzet elviszi.

az (1+1/n)^n az ugye e-hez tart, szerintem ez is.

A masodik, a 7^n megeszi az egeszet reggelire, az ugy 0 ahogy kell.

A harmadikban meg a 2n faktorialisa lesz sokkal nagyobb mint a szamlalo, az is 0.

A #2 válasz teljesen rossz, a #3 kettőt jól tippelt meg.

a)

Alakítsuk át kicsit:

(1 + 1/n - 2/n²)^n = (1 + (n-2)/n²)^n

= ⁿ√(1 + (n-2)/n²)^(n²) = ⁿ√S

Mivel az S kifejezés e^(n-2)-höz tart, ami e^n/e², ezért az n-edik gyök e-hez tart (hisz ⁿ√e² 1-hez tart).

b)

Itt a gyors tipp az, hogy a számlálóban 3^(n+1) a domináns, a nevezőben pedig 7^n. Ezek hányadosa 3·(3/7)^n, aminek az n-edik gyöke 3/7-hez tart, hisz ⁿ√3 → 1

A rendesebb megoldáshoz mondjuk rendőrelvvel lehet a számlálót és a nevezőt is alul illetve felülbecsülni, amikből mindből 3/7 jön ki határértéknek, tehát az eredeti határértéke is 3/7.

Mondjuk a számláló felfelé becslése lehet ez: 2^n + 3^(n+1) < 3^n + 3·3^n = 4·3^n

A nevező lefelé becslése pedig lehet ez: n² - 3n + 7^n > 7^n - 3n > (7^n)/2 akkor, ha n ≥ 2

A folytatást rád bízom... De ha kell még segítség, szólj.

c)

Ez a kifejezés pont megegyezik a (2n alatt n) reciprokával. Mivel (2n alatt n) ≥ (2n alatt 1) = 2n minden n≥1-re, ezért a reciproka kisebb 1/(2n)-nél, ami 0-hoz tart.