Valaki le tudná írni részletesen, képlettel, példákkal hogyan kell a Pont és egyenes távolságát kiszámolni?

Jó persze az is, ami az első linkben van, de én rövidebben csinálnám.

Először kis duma.

Az egyenes egyenlete általánosságban ez:

  Ax + By = C

(Ez általánosabb, mint az y = m·x + b, mert függőleges egyenest így nem lehet leírni, a fentivel meg azt is lehet. Ha átrendezed, kijön, hogy m = -A/B, abból már látszik is, hogy a meredekséges módszerrel nem lehet leírni azt az egyenest, aminél B=0.)

Átrendezve:

  Ax + By - C = 0

Na most ha ezt "normalizáljuk", vagyis elosztjuk √(A²+B²)-tel, ami az A,B oldalú derékszögű háromszög átfogója (Pitagorasz tétel), akkor kapjuk az egyenes egyenletének a normálalakját:

  (Ax + By - C)/√(Á²+B²) = 0

Egy példával nézve:

3x - 4y = 8

3x - 4y - 8 = 0       // √(3²+(-4)²) = 5, ezzel osztunk, hogy normalizáljuk

0,6x - 0,8y - 1,6 = 0

Ez tehát ennek az egyenes egyenletének a normálalakja.

Eddig volt a duma, most jön a lényeg. Ez a normálalak azért érdekes, mert ha az (x,y) pont rajta van az egyenesen, akkor a bal oldali kifejezés értéke természetesen 0. Ha meg nincs rajta az egyenesen, akkor a bal oldali kifejezés értéke éppen a pont távolsága lesz pluszmínuszban (az egyenes egyik oldalán pozitív, a másikon negatív). Vagyis a távolság a bal oldali kifejezés értékének az abszolút értéke.

Pl. az (1,2) pont távolsága a fenti egyenestől: x=1 és y=2 behelyettesítést kell csinálni a 0,6x-0,8y-1,6 kifejezésbe:

0,6·1 - 0,8·2 - 1,6 = 0,6 - 1,6 - 1,6 = -2,6

A távolság tehát +2,6.