Leírtunk egymás után 2014 darab számot. Az utolsó helyen 1-es áll. Minden két szomszédos számot összeolvasva az így nyert kétjegyű szám, vagy 17-tel, vagy 23-mal osztható. Mi áll az első helyen?

1.

17 kétjegyű többszörösei: 17, 34, 51, 68, 85

23 kétjegyű többszörösei: 23, 46, 69, 92

Innen már nem nehéz kitalálni a többi lépést; a második szám csak 5 lehet, a harmadik csak 8, a negyedik csak 6, az ötödik csak 4, a hatodik csak 3, a hetedik csak 2, a nyolcadik csak 9, a kilencedik csak 6, ettől a 6-ostól végig ismétlődni fog a számsor:

...69234692346851

Ha a végéről levágjuk az utolsó három számjegyet, akkor egy "tiszta" periodikus (ismétlődő) számsort kapunk:

...69234692346

Levágtunk 3 számjegyet, így a 2011. tag lesz a 6-os. Mivel a sorozat 5 számjegyből áll, a következőt mondhatjuk el róla:

A 2011., a 2006., 2001, ..., vagyis minden 2011-5*k alakú sorszámú szám 6-os lesz. A többi számjegyet ugyanígy le lehetne írni, de itt elég, ha megállunk, mivel könnyen észrevehető, hogy a 6-os lesz az első számjegy, mivel látható, hogy a 6-osoknak a sorszáma rendre 6-ra és 1-re végződik. Mivel az 1 1-re végződik, ezért ez a keresett szám.

2. Kezdjük el felírni a sorozatot.

2, 3, a következő tag pedig 2 lesz, mivel 2*2-1=3. A következő tag 1 lesz, mivel 3*1-1=2. A következő tag szintén 1 lesz, mivel 2*1-1=1. Eddig itt tartunk:

2, 3, 2, 1, 1,

A következő tag 2 lesz, aztán 3, aztán megint 2:

2, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 2,

Utána 1, utána szintén 1, aztán 2:

2, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 2

És még folytathatnám.

Látható, hogy a "2, 3, 2, 1, 1" számsor ismétlődik. Az a kérdés, hogy eből mennyi van a 2014. tagig. Az ismétlődő sorozat utolsó tagja 1, ami az 5. szám. Ez azt jelenti, hogy ez a sorozat 2015-ig folytatódna, ezzel 2015/5=403-szor ismétlődne a sorozat, ezek összege 403*(2+3+2+1+1)=3627. Viszont a 2015. tagot le kell csippentenünk, mivel csak 2014 tagból áll a sorozat, és a 2015. tag az 1-es, ezért 3627-1=3626 a tagok összege a sorozatban a 2014. tagig.

3. Tegyük fel, hogy fogott x halat, ebből a 35% volt a 3 nagy hal, vagyis x*35/100=x*0,35, ebből a maradék x-0,35*x=0,65*x, ennek az 5/13 részét, vagyis 0,65*x*5/13=0,25*x részét adta a macskáknak, így maradt 0,65*x-0,25*x=0,4*x, vagyis x-0,4*x=0,6*x halnak már elrendeltetett a sorsa, ez összesen 6 darab:

0,6*x=6 /*10

6*x=60 /:6

x=10, vagyis eredetileg 10 halat fogott, ebből 4-et megfőzött halászlének.

Ha valami nem érthető, szólj!