Valaki elmagyarázná nekem ezt a kombinatorikai feladatot?

a, Különböztessük meg az almákat úgy, hogy megszámozzuk őket, azaz nem mindegy, hogy egy gyerek a 40 almából az egyes számút, vagy pl. a 37-es számút kapja, azaz ha csak egy almát kap, akkor is különböző esetnek számít a két lehetőség. Ez esetben célszerű az almák felől közelíteni, azaz azt megnézni, hogy az egyes almák kihez kerülhetnek. Minden egyes alma a három gyerek valamelyikéhez kerülhet, összesen 3*3*...*3*3 = 3^40 elosztás lehetséges.

b, Ha nem különböztetjük meg az almákat, akkor mindegy hogy melyik alma kerül a gyerekhez, ha pl. egyet kap. (Az előbbi esetben erre 40-féle lehetőség volt, most ezt egynek vesszük).

A klasszikus módszer szerint sorra vesszük az egyes eshetőségeket, majd összegezzük:

40-0-0, ez háromféleképpen alakulhat ki, mert 3 gyerek van

39-1-0, ez hatféleképpen alakulhat ki, mert háromból egy gyereket 3-féleképp választhatok ki(ő nem kap almát), akik kapnak, azok meg különböző darabot, tehát kétféle sorrendben.

...

Ez elég bonyolult, s hosszadalmas.

Más módszer szerint sorba állítjuk az almákat, s a gyerekeket. Előre egy gyerek kerül, utána annyi alma, ahányat kap, majd a következő gyerek, megint almák (ha kap), s végül újra gyerek, s almák (ha kap).

Ezzel egy másik feladatra vezettük vissza, lényegében ismétléses permutáció, ahol sorbarendezés a feladat több egyforma elemmel. Kicsit bonyolítja a dolgot, hogy a klasszikus többszínű golyós feladattal ellentétben itt az almákat ugyan nem különböztetjük meg, de a gyerekeket igen (gondolom én - tehát ha Pista kap negyvenet, az nem ugyanaz, mintha Panni kapna ugyanannyit). Így a klasszikus képlet (n!/(k1!k2!...kx!) is módosul egy kicsit.

n esetünkben 42 lesz, mivel alma nem kerülhet első helyre, így az elsőt el is hagyhatjuk, a 3 gyereket megkülönböztetjük, így 3!-sal szorzunk az almákat nem különböztetjük meg, így 40!-sal viszont osztunk, meg 2!-sal is.

Tehát összegezve:

P=3!42!/40!2!=3*42*41=5166

c, Itt felhasználjuk az előző feladat eredményét, s abból kivonjuk a nem megfelelő eseteket (40-0-0, 39-1-0,...,20-20-0). Ez 21 félét jelent, az utolsó kivételével esetenként 6 lehetőséget (lásd előbb), az utolsó esetén 3-t. Azaz 5166-123 = 5043 ilyen elosztás lehetséges.

Közben átgondoltam egy kicsit a b, verziót. Előbb túlkombináltam. A különböző rendezések során bejönnek az eltérő változatok, azaz mindegy, hogy az egy alma az elején jut-e a gyereknek, vagy a végén a sornak, szóval nem kell módosítani az ismétléses permutáció képletét, a megoldások száma helyesen:

P=42!/40!2! = 42*41/2 = 861

Értelemszerűen a c, is módosul:

Ott is van egy hiba, mert kétszer van 3 eset, s 19-szer 6, (40-0-0 ill. 20-20-0 esetén nincs duplázás)

Itt a megoldások száma:

861-120 = 641.

gyerek 3 + alma 40 van. Ha nem lenne megkötés, akkor az első helyre 43 lehetőségből választhatnánk, a másodikra 42-ből, a harmadikra 41-ből, s így tovább, DE ott van az a megkötés, hogy első helyre NEM kerülhet alma, a konstrukcióból kifolyólag, azaz ide csak 1 lehetőség van, a gyerekek közül kerül ide 1. (mivel mégse kell őket megkülönböztetni). A további sorrend változatlanul alakul, a második helyre 42-ből választhatunk, a harmadikra 41-ből, stb...

Az első helyre nem 43 lehetőség van, mert úgy alakítottuk ki a sort, hogy az elején mindenképpen gyerek áll, tehát ott nincs lehetőség választani, s mivel mégse kell megkülönböztetni, ezért csak 1 lehetőség jöhet szóba. A fennmaradó 42 helyre 40 alma és 2 gyerek marad, ebből adódik a képlet.

Egyébként meg zongorázd végig pl. 3 gyerek és 4 alma esetén, s meg fogod látni, hogy valóban megjelennek a különböző esetek - 15 lehetőség van, nem túl sok.

Elsőre én is eltévesztettem, hogy megkülönböztetjük a gyerekeket, de rájöttem, hogy nem kell, mert ha nem az elején, akkor egy másik elrendezésben megjelenik a párja egy adott sorrendnek.