HELP! Egy patak partján el akarunk keríteni egy téglalap alakú rést. A kerítésből 400 méternyi anyagunk van. Hogyan kell az elkerített téglalap oldalait megválasztani, hogy a terület maximális legyen? (a folyópart felőli oldalon nem kell kerítés)

Az egyik oldal a, ez egyben a patak hossza is. A másik két oldal b.

a+2b = 400

a·b maximumát keressük.

a = 400-2b

a·b = (400-2b)·b = 400b - 2b²

Ez egy másodfokú kifejezés, a képe egy parabola. Mivel a négyzetes tag együtthatója negatív, a parabola csúcsa felül van; pont ott a csúcsnál van tehát a maximum.

-2b² + 400b

-2·(b²-200b)

Ennek ott van a maximuma, ahol a zárójeles résznek a minimuma (a negatívval való szorzás miatt)

A zárójeles részt alakítsuk teljes négyzetté:

b²-200b = (b-100)² -100²

A négyzetes tag akkor a legkisebb, amikor az értéke nulla (hisz negatív nem lehet), ott lesz tehát az egész kifejezés is a legkisebb, ami mínusz kettővel szorozva pedig a legnagyobb lesz:

b-100 = 0

b = 100

Ezek szerint a=200