Mekkora egy háromszög kerülete, ha területe 1 területegység?

A Wikipédia angol nyelvű oldalán található képletek alapján:

4a^2=p^2+q^2 illetve A=ah és A=pq/2.

Elsőt valójában nehéz megoldani. Értelmesebb a kérdés, ha azt is hozzáteszik, hogy a legkisebb vagy a legnagyobb kerületűt keressük. Ha behelyettesítesz a Héron-képletbe, rögtön látható, hogy a feladat legalább 2 ismeretlenes. Sz. Gy.

1.) Mekkora egy háromszög kerülete, ha területe 1 területegység?

2.) Egy rombusz két átlója 12 cm, és 17 cm, mekkora a magassága?

**********************************************************

1.)

Csak alsó becslést lehet adni a lehetséges értékekre.

A háromszögek kerülete és területe között érvényes a következő egyenlőtlenség:

K²/T ≥ 12√3

Az egyenlőség egyenlő oldalú háromszög esetén áll fenn.

Ebből

K² ≥ T*12√3

Ha T = 1, akkor

K² ≥ 12√3

így

K ≥ √(12√3)

Ennek értéke közelítőleg

K ≥ 4,5590

Adott terület és kerület esetén egy oldalt rögzítve a másik két oldal számítható.

******************

2.)

Egy ábra magyarázatul:

[link]

Az AB'C egy derékszögű háromszög, melynek az átfogóhoz tartozó magasságát keressük.

Ezt a legegyszerűbben úgy kapjuk, hogy a befogók szorzatát osztjuk az átfogóval

Az ábra jelöléseivel

m = e*f/2a

Az átfogó az átlókkal kifejezve

2a = √(e² + f²)

vagyis

m = e*f/√(e² + f²)

Mindkét oldalt négyzetre emelve

A.) m² = e²*f²/(e² + f²)

Ha mindkét oldal reciprokát veszed

B.) 1/m² = 1/e² + 1/f²

Mivel az A.) képlet az átlók négyzetének harmonikus közepe, a megoldás így is írható

C.) m² = H(e²,f²)/2

Lehet választani, melyik a szimpatikusabb. :-)

Ha kérdés van, jelentkezz!

DeeDee

*********