Egy felül nyitott, henger alakú, ½ liter térfogatú mérőedényt akarunk készíteni. Hogyan válasszuk az edény alapsugarát és magasságát, hogy minél kevesebb lemezt használjunk fel, és mennyi lesz ez a felhasznált lemezmennyiség? (DERIVÁLÁSSAL! )

Ehhez a feladathoz fel kell írnod az edény magasságának függvényét a sugarától, ha az adott jellemzőkkel bíró edényről van szó (fordítva is lehetne, csak akkor gyökös kifejezés jönne ki, amit nem szeretek:P). A kör alapú henger térfogatának képlete: V=m*r^2*PI

Innen V=0,5 l =0,5 dm^3 =50 cm^3

Az előző képletből: m (V,r) =V/(r^2*PI)

V-t behelyettesítve: m(r)=50/(r^2*PI)

Ezután felírom a szükséges lemezfelületet: A=r^2*PI+2*r*PI*m (mivel felül nyitott)

Behelyettesítve az m-re kapott összefüggést:

A(r)=r^2*PI+2*r*PI*50/(r^2*PI)=r^2*PI+100/r

Ennek a függvények keressük a minimumhelyét (legkisebb felhasznált lemezmennyiség). Ehhez lederiváljuk, ahol a deriváltja nulla és előjelet vált, ott valamilyen szélsőértéke van.

A'(r)=2*r*PI-100/r^2 = 0

2*r*PI=100/r^2

r^3=50/PI

Ebből kijön az alapsugár, amiből az elején felírt összefüggés alapján számolható a magasság. Szintén behelyettesítéssel kijön a lemezmennyiség is.

Amit elfelejtettem, hogy érdemes ellenőrizni, hogy a derivált zérushelye tényleg minimumhely. Azt, hogy milyen szélsőérték, kétféleképpen tudod ellenőrizni: ha a második deriváltja pozitív, azaz a függvény konvex, ott minimumhelye lehet, ahol negatív, ott pont fordítva. Másik módszer, hogy megnézzük a zérushely előtt és után a derivált előjelét. Ha negatívból pozitívba vált (előbb csökken, majd nő a függvény), akkor minimumhelye van, fordítva értelemszerűen átírható.