Mit jelent a konvergencia és divergencia (sorozatok esetében)?

Gondolj bele, hogy végtelen számú pontot kellene elhelyezni a számegyenesen. Ennek fajtájáról kell most nyilatkozni. Ezt lényegében kétféleképpen tudnánk megcsinálni. Vagy egyenletesen az egész számegyenesen mind a két végét is beleértve. De ezen belül is elég ha az egyik végével is számolni kell. Vagy pedig nem, de ekkor torlódási pontokkal kell számolni. De ebből is kétféle lehet. Vagy több torlódási pontja van a pontsorozatodnak vagy pedig csak egy. Nos ezt az utóbbi esetet hívják a matekosok konvergens pontsorozatnak (azzal a feltétellel, hogy véges számú pont kivételével), a többieket pedig divergensnek. Utóbbira példa az 1-1/n sorozat és a torlódási pontja nyilvánvalóan az 1, a másikra példa a (-1)^n sorozat, amelynek torlódási pontjai a (-1) is és a (+1) is. A megjegyzésem elején írt kétféle sorozatra példa még a (-n)^n sorozat és a n^2 sorozat. Nyilván látszik igyekeznek a végtelenek felé szétszóródni: az első mindkét irányba, míg a másik csak az egyik irányba, de torlódási helyek nélkül. Két dologra kell még oda figyelni. Az egyik az, hogy a végtelen számú pontot nyugodt lelkiismerettel választhatunk úgy széjjel, hogy abból két végtelen számú ponthalmaz legyen. Sőt véges számú ilyen részekre is bonthatjuk őket. A másik a torlódási hely fogalma. Amikor véges számú pont kivételével megtalálható az összes az adott pont környezetében, vagy elég annyi is, ha az adott környezetben végtelen számú pont kerül oda. Erre példa az a(n):= n , ha n páratlan és 1/n , ha n páros. Mégsem lesz a sorozat konvergens. Igyekeztem érthetően leírni, lehet, hogy a többiek is fognak ehhez egy-két kommentet fűzni. Sz. Gy.

Első válaszoló adná az első négy kommentet. A második fajtánál véges hosszúságú intervallumba eső pontsorozatra kell gondolni. Torlódási hely esetén az adott pont tetszőlegesen kicsi hosszúságú környezetén kell értelmezni a végtelen számú pontok (rész)sorozatát. Az említett kétféle eset nem diszjunkt, lehet olyan is, hogy mindkét eset egyszerre figyelhető meg. Ilyen eset volt az utolsó példám. Az említett példák határértékei rendre az "1"; "nem létezik", "nem létezik", "plusz végtelen" és "nem létezik" válaszokat kell adni. Sz. Gy.