Mekkora a kétliteres, henger alakú edény magassága, ha kétszer olyan magas, mint amilyen széles?

A példákban, nyilván, egyenes (kör)hengerről van szó.

Adatait jelöljük szokásosan, a volumen (térfogat), diagonal (átló), radial (sugár) szavak kezdőbetűivel, illetve a magasságot „m”-mel, a felszínt „f”-fel.

A számolásokat 6 tizedes jegyre kerekítve végzem; így ellenőrzéskor viszonylag pontos értéket kapunk.

1. f e l a d a t

A térfogat az alapterület és a magasság szorzata.

Az alapterület kör alakú, területe r²*π. Tehát

v = r²*π*m.

Két ismeretlen van, „r” és „m”’. Viszont, ismerjük a kettőjük arányát, így egyik a másikkal kifejezhető.

Adott, hogy a magasság a szélesség 2-szerese. Itt, a szélesség, az alap átmérője. Vagyis

m = 2*d

Az átmérő a sugár 2-szerese. Tehát

m = 2*2*r = 4*r

A térfogat képletében „m”-et váltsuk ki ezzel

v = r²*π*4*r = r³*π*4

Adott, hogy „v” értéke 2 liter. Ezt olyan térfogat egységgé kell alakítani, ami alkalmas arra, hogy a henger adatait hosszúság, terület mértékegységekben számoljuk.

Ismert, hogy 1 liter = 1 dm³, így

2 liter = 2 dm³

A henger adatait így dm-ben, dm²-ben, dm³-ben számoljuk.

A v = r³*π*4 ezért

2 = r³*π*4 // az egyenlőség fennmarad, ha mindkét oldalt osztjuk π*4-gyel

2/( π*4) = r³ // bal oldalon elvégezve a műveletet: 2 / (3,141593 * 4)

0,159155 = r³ // az egyenlőség fennmarad, ha mindkét oldal 3. gyökét vesszük

0,541927 = r

m = 4*r = 4*0,541927 = 2,167708. Tehát a

M A G A S S Á G 2,167708 dm.

Ellenőrzés (ahogy feljebb már szerepel ennél a hengernél a térfogat):

v = r³*π*4 = 0,541927³*3,141593*4 = 2,00001051561566122551676 dm³, azaz liter.

(Azért dm³, mert „r” mértékegysége dm, és az a 3. hatványon van, míg π és 4 mértékegység nélküli számok.)

2. f e l a d a t

Az első feladattal azonos gondolkodásmóddal oldható meg.

A különbség, hogy itt nem literben van megadva a térfogat, és nem az magasság:átmérő arány, hanem a sugár:magasság arány van megadva. És most a felszínt kell kiszámolni.

A felszín a henger alját és tetejét alkotó körök területeinek összege + a palást területe.

A palást, kiterítve, egy derékszögű paralelogramma: téglalap, vagy, speciális méreteknél, négyzet.

A két kör azonos, területük, együtt: 2*(r²*π).

A téglalap alsó oldala a kör kerülete, magassága a henger magassága, területe (2*r*π)*m.

Ezeket összegezve kapjuk a henger felületét:

f = (2*r²*π) + (2*r*π*m) = 2*r*π*(r+m)

Az első feladatban már szerepel a térfogat:

v = r²*π*m.

Két ismeretlen van, „r” és „m”’. Viszont, ismerjük a kettőjük arányát, így egyik a másikkal kifejezhető.

r/m = 5/6 // az egyenlőség fennmarad, ha mindkét oldalt m-mel szorozzuk

r = m*5/6 // az egyenlőség fennmarad, ha mindkét oldalt 5/6-dal osztjuk

r*6/5 = m

„m” értékét a térfogat képletébe helyettesítve:

v = r²*π*r*6/5 = r³*π*6/5 // számszerűsítsük az ismert értékeket

3280 = r³*3,141593*6/5 // az egyenlőség fennmarad, ha mindkét oldalt osztjuk 3,141593*6/5-tel

(3280*5)/( 3,141593*6) = r³

16400/18,849558 = r³

870,046926 = r³ // az egyenlőség fennmarad, ha mindkét oldal 3. gyökét vesszük

9,546574 = r

m = r*6/5 = 9.546574*6/5 = 11,455889

(Mivel a térfogat mértékegysége cm³, „r” és „m” mértékegysége cm.)

Ellenőrzés (ahogy feljebb már szerepel a térfogat):

v = r²*π*m = 9,546574²*3,141593*11,455889 = 91,137075*3,141593*11,455889 = 3279,999696 ≈ 3280 cm³.

És akkor a kérdés: mekkora a felület?

f = 2*r*π*(r+m) = 2*9,546574*3,141593*(9,546574+11,455889) = 2*9,546574*3,141593*21,002463 = 1259,788640 cm².

(Mivel a térfogat mértékegysége cm³, a felület mértékegysége cm².)

F E L Ü L E T 1259,788640 cm², vagy 12,59788640 dm².

3. f e la d a t

A tengelymetszet olyan téglalap, illetve, ebben a példában négyzet, amely alapja a henger alapjának átmérője, magassága a henger magassága.

A tengelymetszet (négyzet) területe adott: 628,7 cm². (Nem cm3, ahogy a feladat kiírásban szerepel.)

A négyzet területe (Tn) a², ahol „a” az oldalhossz. Tehát:

Tn = a²

√Tn = a

√628,7 = a

25,073891 = a

(Mivel a tengelymetszet területének mértékegysége cm², az oldal mértékegysége: cm.)

Ennyi a henger alapjának átmérője és magassága is.

Ha ennyi az alap átmérője, akkor az alap sugara (r) ennek fele: 25,073891/2 = 12,536946 cm.

A térfogat képlet már többször szerepelt:

v = r²*π*m = 12,536946²*3,141593*12,536946 = 12,536946³*3,141593 = 6190,492280 cm³, vagyis 6,190492280 dm³.

T É R F O G A T 6,190492280 dm³.

A felület képlete is szerepelt már:

f = 2*r*π*(r+m) = 2*12,536946*3,141593*(12,536946+12,536946) = 1975,119707 cm², vagyis 19,75119707 dm².

F E L Ü L E T 19,75119707 dm².

Remélem, hogy megjelenéskor nem romlik el a forma, és remélem, hogy a formára ügyelés közben nem vétettem hibát.

A gondolatmenet látható, a számolás ellenőrizhető.