Elakadtam a matek házimban. Megoldás?

Hosszabb válaszokba reklámot szoktak beszúrni, illetve, a válasz megjelenítésekor szóközöket, ismétlődő- és speciális karaktereket szoktak eltüntetni.

Remélem, hogy a válaszom értelmezhető marad, ha netán el is veszti eredeti, logikus formáját.

1. f e l a d a t

==========

v1 = a gyalogos sebessége = 4,5 km/óra

v2 = a kerékpáros sebessége = 16,5 km/óra

s1 = a gyalogos által megtett út = ? km

s2 = a kerékpáros által megtett út = ? km

t = a találkozásig eltelt idő = ? óra

A feladat megoldása közben nem írok mértékegységeket, mert az zavarná az áttekinthetőséget. A fentieknek megfelelően, a sebességeké: km/óra, az utaké: km, az időé: óra.

Általánosságban: s = v*t. Itt:

s1 = v1*t

s2 = v2*t

s1+s2 = 14 // s1 és s2 helyére írjuk be az előző két sor szorzatait:

v1*t + v2*t = 14 // v1 és v2 értéke is adott, azt írjuk be ide:

4,5*t + 16,5*t = 14 // „t” időt emeljük ki, baloldalon:

t*(4,5+16,5) = 14 // vagyis:

t*21 = 14 // az egyenlőség fennmarad, ha mindkét oldalát 21-gyel osztjuk:

t = 14/21 óra // a jobb oldalon levő tört számlálóját és nevezőjét is oszthatjuk 7-tel (ez egyszerűsítés):

t = 2/3 óra // „t”-t helyettesítsük be „s1”, illetve „s2” képletébe:

s1 = 4,5*t = 4,5*2/3 = 9/3 = 3

s2 = 16,5*t = 16,5*2/3 = 33/3 = 11 km // Ellenőrzés: 3+11 = 14

Térjünk még vissza „t” értékére, mert a feladat percben kéri.

1 óra = 60 perc. 1/3 óra = 20 perc. 2/3 óra = 2*20 perc = 40 perc.

E R E D M É N Y E K :

Találkozásukkor, a gyalogos 3 km-re lesz a falujától.

Találkozásukkor, a kerékpáros 11 km-re lesz a falujától.

A találkozásig eltelt idő: 40 perc.

2. f e l a d a t

==========

v1 = az elsőként induló vonat sebessége = 48 km/óra

v2 = a másodikként induló vonat sebessége = 60 km/óra

s1 = az elsőként induló vonat által megtett út = ? km

s2 = a másodikként induló vonat által megtett út = ? km

t = az utolérésig eltelt idő = ? óra

A feladat megoldása közben nem írok mértékegységeket, mert az zavarná az áttekinthetőséget. A fentieknek megfelelően, a sebességeké: km/óra, az utaké: km, az időé: óra.

Általánosságban: s = v*t. Itt:

s1 = v1*2 + v1*t // az 1. vonat 2 óráig, „v1” sebességgel halad, majd „t” óráig, mikor mindkettő halad, továbbra is „v1” a sebessége

s2 = v2*t

s1 = s2 // az utoléréshez egyforma utat kell megtenniük; s1, s2 helyére írjuk az előzőeket:

v1*t + v1*2 = v2*t // v1, v2 megadott értékeit írjuk be:

48*t + 48*2 = 60*t // számoljuk ki a szorzatot:

48*t + 96 = 60*t // az egyenlőség fennmarad, ha mindkét oldalból elveszünk (48*t)-t:

96 = 60*t – 48*t // „t”-t emeljük ki, jobboldalon:

96 = (60 – 48)*t // jobboldalon számoljuk ki a zárójeles értéket:

96 = 12*t // az egyenlőség fennmarad, ha mindkét oldalt osztjuk 12-vel:

8 = t

E R E D M É N Y : a másodikként induló vonat 8 óra múlva éri utol az elsőként indulót.

E l l e n ő r z é s :

A 2. vonat 8*60 = 480 km-t tesz meg.

Az 1. vonat 2 órával korábban indult, ezalatt (2+8)*48 = 10*48 = 480 km-t tesz meg.

Valóban utoléri a másodikként induló az elsőként indulót.

3. f e l a d a t

==========

A kerékpáros a 12 km-t 12/18 = 2/3 óra alatt teszi meg, majd 20 percet, azaz 1/3 órát tölt a városban.

Ez azt jelenti, hogy 2/3 + 1/3 = 3/3 = 1 óra múlva (az indulástól számítva) indul vissza.

A gyalogos ez alatt az 1 óra alatt 6 km-t tett meg, vagyis 12 – 6 = 6 km-re van ekkor a várostól, illetve a szembe (vissza)induló kerékpárostól.

A kerékpáros sebessége 3-szorosa a gyalogosénak, azaz a gyalogos pillanatnyi helyzete és a város közti 6 km-ből ő 3-szor annyit tesz meg, mint a gyalogos.

A 6 km-ből, tehát, a kerékpáros 3 részt, a gyalogos 1 részt tesz meg. Ez, összesen 4 rész.

6 ¾ része: (6*3)/4 = 18/4 = 4,5. A kerékpáros tehát 4,5 km-t tett meg a várostól, mikor találkoztak.

E R E D M É N Y : a várostól 4,5 km-re találkozott a gyalogos és a kerékpáros.

E l l e n ő r z é s :

A 18 km/órás sebességgel haladó kerékpáros 4,5 km-t 4,5/18 = 0,25 óra ( ¼ óra) alatt tett meg.

Előbb már szerepelt, hogy az indulástól számított 1 óra elteltével indult vissza a városból, és a számítás szerint ¼ óra múlva találkozott a gyalogossal, 4,5 km-re a várostól.

A 6 km/órás sebességgel haladó gyalogos 1,25 óra alatt 6*1,25 = 7,5 km-t tett meg, és 12 – 7,5 = 4,5 km-re van a várostól.

Mivel mindketten 4,5 km-re vannak a várostól, találkoznak.