Mi az x^x függvény és az (1+x) ^sinx függvény deriváltja illetve miért az?

x^x függvény deriváltja x^x * (lnx + 1), ugyanis ez egy összetett függvény deriváltja f^g alakban. Az a^x deriváltja (a^x)' = a^x * lna. Így (f^g)' = f^g * lnf * g'.

Az (1+x)^sinx függvény is f^g alakú összetett függvény, így a deriváltja már nem erre a logikára épül, ugyanis alul is egy összetett függvény van (x+1). Tehát (x+1)^[(sinx)-1] * [sinx + (x+1)*ln(x+1)*cosx]. Nagyon remélem, hogy ezek neked is a megoldások :) először úgy kell vizsgálni a függvényt, mintha egy sima hatványfüggvény lenne, és úgy lenne összetett függvény, majd utána vizsgálod úgy, mint egy exponenciális függvényt: tehát f(g)^h. És így már egy többszörösen összetett, f-kör-g-kör-h függvényt kapunk.

Nem jó az első válasz. Ha úgy csinálná az ember, nem is jó eredmények jönnének ki, szóval a válaszoló sem úgy csinálta. Bizonyára megnézte valamilyen deriváló programmal, hogy mi lesz az eredmény...

Az eredeti kifejezéseket nem lehet deriválni a szokásos módszerekkel, mert az alapban is és a kitevőben is van x. Vagyis ezek se nem hatványfüggvények, se nem exponenciális függvények, nem lehet azok szabályai szerint deriválni őket.

Mindkét esetben egy egyszerű trükköt kell csinálni:

- vegyük a kifejezés logaritmusát:

ln (x^x) = x · ln x

- majd hatványozzuk vissza, így megkapjuk az eredetit más formában:

x^x = e^(x · ln x)

(A második esetben így e^(sin(x) · ln(1+x)) jön ki, mint az eredeti kifejezés másmilyen alakja.)

Na most ezek a kifejezések már exponenciális függvények, hisz csak a kitevőben van x. Ezeket már lehet deriválni az összetett exponenciális függvény szabályai szerint:

f(x) = e^(x · ln x)

f ' (x) = e^(x · ln x) · (x · ln x)'

aztán a szorzat deriváltja:

= e^(x · ln x) · (1 · ln x + x · 1/x)

aztán visszaegyszerűsítjük a dolgokat: (pl. az e^... visszaalakulhat az eredeti x^x-re)

= x^x · (1 + ln x)

Hasonlóan megy a szinuszos is:

g(x) = e^(sin(x) · ln(1+x))

g'(x) = e^(sin(x) · ln(1+x)) · (sin(x) · ln(1+x))'

= e^(sin(x) · ln(1+x)) · (cos(x) · ln(1+x) + sin(x) · 1/(1+x))

= (1+x)^(sin x) · (cos(x) · ln(1+x) + sin(x)/(1+x))

Kész van, de ha pont olyan alakot akarsz, mint amit #1 írt, akkor az (1+x)-szel való osztást ki lehet emelni:

= (1+x)^(sin(x) - 1) · ((1+x)·cos(x)·ln(1+x) + sin(x))