Gumiszálat megnyújtás nélkül liftben vízszintesen rögzítünk, majd középen nehezéket akasztunk rá. A terhelt gumiszál a nyugalomban lévő liftben 30°-os szögben, majd a gyorsuló liftben 35°-os szögben hajlik a vízszintes alá. Mekkora a lift gyorsulása?

Érdekes feladat. Csináltam egy vázlatot, itt találod: [link] .

Az érdekesség az, hogy a növekvő lehajlási szög miatt a kötélerőt a megnyújtással növekvő, de a lehajlási szög szerint csökkenő erő erő adja, és nem tudjuk megtippelni, hogy végül is mekkora lesz.

A gumi fél hossza terheletlen állapotban d0. A G1 erő hatására d1 lett, d1=d0/cos30=1,155×d0. A G1 súlyt kiegyenlítő Fe1=G1. Az Fr1 rugóerő a sárga háromszög szerint Fr1=(Fe1/2)/sin30=Fe1=G1.

A felfelé gyorsuló liftben a test súlya G2-re növekedik. Az előbbiek szerint Fr2=(Fe2/2)/sin35=0,872×G2! (G2=Fe2.) cosβ=d0/d2, d2=d0/cos35=1,221×d0.

Most jön a lényeg: Fr2/Fr1=(d2-d0)/(d1-d0). Ehhez kihasználtuk azt, hogy a d0-nál Fr0=0, és a rugóerő a lineáris erőtörvény szerint a megnyújtással egyenesen arányos. A megnyújtás arányában vigyázni kell erre, hogy nem d2/d1, hanem csak a d0 kezdeti hosszhoz képest vett hosszváltozást kell számolni. Az arány ismert: (1,221d0-d0)/(1,155d0-d0)=0,221/0,155=1,426. Vagyis Fr2/Fr1=1,426.

A rugóerőket már korábbról ismerjük: Fr1=G1, Fr2=0,872×G2, ebből (0,872×G2)/G1=1,426 -> G2=1,635×G1.

Célnál vagyunk: Fe1=G1=m×g, Fe2=m×g+m×a=G1+m×a, ahol 'a' a lift gyorsulása. Azért, mert a testet a lift gyorsulásából eredő erő is mozgatja felfelé, ami hozzáadódik a test kezdeti, nyugalmi súlyához. Fe2=G2, G2=1,635×G1, m×g+m×a=m×(g+a) -> (g+a)/g=1,635 -> a=0,635×g. g=9,80665 -> a=6,227 m/s². Az eltérést kerekítési hibák adják össze, ez esetben nem lényeges.