Aki jó matekos tudna segíteni? Most egy tök nehéz témakörnél vagyunk, kb semmit nem értek belőle, és igen figyelek órán de a tanár képtelen normálisan magyarázni, az osztályból senki sem érti de ez mellékes:D

Nah. Leírom a saját elméletem. De ebben nem vagyok biztos, lehet,hogy jön majd valaki, aki jobban tudja. Szóval. Hasonló testek térfogatának aránya az oldalainak arányának köbe. Ezt jegyezd meg. A másik. A felszínek aránya az oldalak arányának négyzete. Ha ezt a két dolgot tudod, onnan már semmi nehézség nincs benne. Ennek alapján:

1)

a)Az oldalak aránya 2:5. Az előző alapján a térfogatuk aránya 2 a köbön:5 a köbön, tehát 8:125. A felszín ugyanezen logika alapján 2 a négyzeten:5 a négyzeten, tehát 4:25.

b)

Ugyanez.Próbáld meg ezt magadtól. Úgy többet érsz vele, mintha ezt is leírom. ott az előző mintának.

2)

a)Ugyanaz,mint az 1-es, csak fordítva kell gondolkodni. A térfogat aránya 1:8. A térfogat aránya az oldalak arányának köbe. Tehát ebből az arányból köbgyököt kell vonni. 1 köbgyök:8 köbgyök, tehát 1:2.

b)Ezt is próbáld meg egyedül. :)

Remélem érthető voltam. És remélem, nem mondtam hülyeséget. :)

Mit jelent az, hogy hasonló?

Azt jelenti, hogy arányaiban ugyanolyan, csak az egyik kisebb. Például egy valódi ház és egy makett ház hasonló, csak ami a valóságban mondjuk 1 méter, az a modellen mondjuk 5 centi. De ha a valós házban két fal egymással 15 fokos szöget zár be, akkor a modellen is.

A téglatestek közül egy mondjuk 5x4x10 centis oldalú téglatest hasonló ahhoz, aminek 10x8x20 ventis az oldala, de nem hasonló ahhoz, aminek 5x6x10 centi. Eddig gondolom, világos. Képlettel írva, ha egy téglatest oldalai axbxc, egy másik téglatest oldala naxnbxnc (ahol n végig ugyanaz a szám ugyebár), akkor két téglatest hasonló. Vigyázat! A szorzás elemei felcserélhetőek, egy 10x20x8 centis téglatest ugyanolyan, mint egy 8x10x20 cebtis!

Ha két test hasonló, akkor csak azt kell megadni, hogy az egyik hányszorosa a másiknak. Például van egy 2x2x4 centis dobozod, meg egy másik hasonló és tudod, hogy az oldalhossz aránya 2:5, akkor a másik doboz 5x5x10 centis lesz. (Minden oldalt meg kell szorozni 5/2 = 2,5-tel)

A hasonlóságnál egyetlen szabályt kell megjegyezni, és azt is könnyű, de először nézzünk egy kis segítséget. A hossz mértékegysége a méter. A felületé a négyzetméter. A térfogaté a köbméter. Ezt eddig is tudtad.

Ha van két hasonló tested, és a hosszuk arányát tudod, akkor úgy tudod kiszámolni a felületük arányát, hogy a hossz-arányt négyzetre emeled (méter-négyzetméter). Tehát ha az egyiknek az oldal aránya 5-szörös, akkor a felület arányuk 5x5=25-szörös lesz.

A térfogat arányuk pedig köbösen nő (méter-köbméter), azaz az ötszörös oldalarány 5x5x5=125-szörös lesz.

Lássuk a példádat:

1) Két hasonló téglatest megfelelő oldalhosszainak aránya a)2:5 b)3:7 Számítsuk ki a téglatestek felszínének és térfogatának arányát.

Az így megadott aránynál mindig az a lényeg, hogy le kell egyszerűsíteni, tehát végülis ez egy osztás. Bármelyik irányba elvégezheted az osztást, azaz azt is mondhatod, hogy a kisebbik 2/5=0,4-szerese a nagyobbnak, vagy a nagyobbik 5/2=2,5-szöröse a kisebbnek. Tök mindegy, kivéve ha az a kérdés, hogy hányszor nagyobb a nagyobb, vagy mennyivel kisebb a kisebb, mert akkor abból az irányból kell közelíteni.

Megoldom az a) feladatot, a tied a b). A 2:5 arány azt jelenti, hogy ami az egyiken 2 cm, az a másikon 5. Valójában tök mindegy, hogy ez egy 2x2x2 és egy 5x5x5 cm-es kocka, vagy mondjuk egy nagyobb, 4x4x4 és 10x10x10, mert a felület arány ugyanaz lesz. A lényeg tehát az, hogy az egyik téglatest a másiknál 2,5-ször nagyobb (5/2=2,5). Ha 2,5-ször hosszabb az összes oldala, akkor négyzetesen nagyobb a felszíne, azaz 2,5x2,5=6,25, azaz 6,25-ször nagyobb az egyik felszín a másiknál. És köbösen, azaz 2,5*2,5*2,5=15,625-ször nagyobb a térfogata. (Vagy úgy is mondhatjuk, hogy a kisebbiknek 0,4*0,4=0,16-od akkora a felszíne, stb.)

Ha két test esetén a felület arányt tudod, akkor úgy kapod meg a hossz-arányt, hogy (négyzetméter-méter!!!), gyököt vonsz belőle. Ha például azt tudod, hogy két kocka közül az egyiknek 4-szer nagyobb a felszíne, akkor gyök4 = 2-szer akkora az oldalhossza. Ebből meg már a térfogatot is ki tudod számolni. gyök4 a köbön, azaz 2 a köbön, azaz 8-szoros.

Ha a térfogat arányt tudod, akkor szintén vissza tudsz menni oldalarányra, köbgyök vonással. Ha például az egyik test térfogata a másiknál 3,375-ször nagyobb, akkor az oldal arányuk 1,5-ször akkora. Ebből ki lehet számolni a felület arányt. Itt is nézzük a példádat.

2)Két hasonló test térfogatának aránya: a)1:8 b)1:27 Adjuk meg a hansonlóság arányát, és számítsuk ki az egyes testek felszínének arányát!

Az a) esetben az egyiknek 8-szor akkora a térfogata, akkor köbgyök8 = 2-szer akkor az oldala, és 2x2=4-szer akkor a felszíne.

Megjegyzés: természetesen ez midnen testre vonatkozik, pl gömbökre is. A gömb hosszméretét a sugarával vagy az átmérőjével szokás jellemezni. Egy 3-szor nagyobb sugarú gömb esetén a felszín 3x3=9-szeres, a térfogat 3x3x3=27-szeres.

További példa feladatatok:

Egy aranytömb tömege 5 kg, és magassága 5 cm. Mennyi a magassága egy hasonló alakú, de 4 kg-os tömbnek?

Megjegyzés: ha tudjuk, hogy a két test hasonló, akkor nem kell tudnunk, hogy milyen alakú. Lehet akár sósperec alakú is, hiszen a kiterjedése minden irányban arányosan kisebb. Minket most csak a magasság érdekel. A tömeg a térfogattal arányos, azaz lényegében 5:4 a két tömb térfogataránya. Azaz az egyik 5/4=1,25-ször nagyobb térfogatú. Ennek köbgyöke 1,077, ami azt jelenti, hogy a nagyobbiknak a magassága 1,077-szer nagyobb, mint a ksiebb. Vagyis a kisebb 5/1,077=4,64 cm magas.

Egy 8 cm átmérőjű, gömb alakú narancsba bele akarunk szúrni 100 darab szegfűszeget. Sajnos csak 75 fér el. Mekkora átmérűjű narancsot vegyünk, hogy ugyanilyen sűrűséggel szurkálva a szegfűszegeket, mind a 100 elférjen?

Megjegyzés: A szegfűszegek szám a felülettől függ. A mi kis narancsunk 75 szegfűszegnyi felületű (bármit is jelentsen ez négyzetcentiméterben, nem érdekes), és nekük egy 100 szegfűszegnyi narancs kell. A nagyobb narancs felület aránya tehát 100:75 = 1,333333. Ebből kell gyököt vonni, hogy az átmérő arányt megkapjuk, a számérték 1,15 lesz, ez lesz tehát a hossz arány. Vagyis 8*1,15=9,2 cm átmérűjű narancsba már belefér mind a 100 szegfűszeg.

Két hasonló alakú pohár közül az egyik 5-ször magasabb. Hányszor annyi ital fér bele? Az 5 itt oldalarány, azaz egyértelműen 5*5*5=125-ször annyi ital fér bele.

Ha kérdésed van, írj.