Hány olyan ikerprím pár van, amelyek összege valamely két különböző prímszám szorzatának a négyzetével egyenlő?

Az ikerprímek páratlanok, tehát az összegük páros. Ez azt jelenti, hogy a két különböző prímszám szorzatának a négyzete kell hogy tartalmazza a 2-t mint osztót. Ez csak úgy lehet, ha az egyik prím a 2.

Legyen az ikerprím (a,b) , a két másik prím meg (2, q).

b=a+2 , tehát a bal oldal: a+(a+2)

Így: a+a+2=(2*q)^2

2a+2=4q^2 / :2

a+1=2q^2

(a+1)/2=q^2

Tehát azok az alakú ikerprímek jöhetnek szóba, ahol a kisebbik számhoz egyet hozzáadva majd azt felezve egy prím négyzetét kapom.

Próbálgatással eljutottam odáig, hogy a (17,19) ikerprím és a (2,3) egyéb prím párok jók lesznek nekünk - tehát egy ilyen eset biztos van.

Valaki meg tudja mutatni, hogy nincs több lehetőség? (vagy hogy mennyi van)?

p, p+2 az ikerprím

2, q a két másik prím. (Az egyik 2 kell legyen, ahogy #6 bizonyította, mert az ikerprímek összege páros.)

p + p+2 = (2·q)²

A p>3 ikerprímek összege 3-mal osztható, mert:

- p és p+2 is prím, nagyobbak 3-nál, nem oszthatóak 3-mal.

- p = 3k+1 alakú nem lehet, mert akkor p+2 = 3k+3 lenne, nem lenne prím (osztható lenne 3-mal)

- p = 3k+2 alakú tehát, akkor p+2 = 3k+4, összegük pedig 6k+6, osztható 3-mal.

Vagyis (2·q)² osztható kell legyen 3-mal. Az csak úgy lehet, ha q=3. Vagyis az egyetlen megoldás az, amit #6 talált.