Matematika feladatsor-ban hogyan oldanám meg ezeket?

Igaz

Hamis

a,b

1. Legyen egy számtani sorozat első tagja a(1), differenciálja d, ekkor a tagok:

a(1); a(1)+d; a(1)+2d; a(1)+3d; a(1)+4d; stb.

Nem nehéz kitalálni ebből, hogy minden második tag differenciálja 2d lesz. De lássuk be precízen:

Könnyen észrevehető, hogy a(n+2)=a(n)+2d, ebből a(n+2)-a(n)=2d, tehát tényleg számtani sorozat. Ebből az is kiderül, hogy páratlan sorszámú tagokra is igaz a feltevés.

2. Ez nem igaz, például legyen ez a sorozat:

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 ...

Tehát a páros sorszámú tagok számtani sorozatot alkotnak (d=1), de maga az eredeti sorozat nem.

3. A rombuszról biztosan tudjuk; ez akkor lesz így, ha két szabályos háromszöget egyik oldaluknál összeragasztunk, így az egyik átló egyenlő lesz az oldalakkal. Mivel a rombusz speciális trapéz, ezért a trapéz is letudva ezzel, viszont olyan trapézt is tudunk mondani, amelyik nem rombusz; egy szabályos háromszöghöz ragasszunk hozzá egy derékszögű háromszöget úgy, hogy a derékszögű háromszög átfogója ugyanolyan hosszú legyen, mint a szabályos háromszög oldala, és az átfogónál ragasszuk össze őket.

Nézzük a téglalapot; legyen a téglalap két oldala a;b, ekkor az átló hossza gyök(a^2+b^2) a Pitagorasz-tételből adódóan. Nézzük, hogy ez mikor lesz egyenlő valamelyik oldallal:

a=gyök(a^2+b^2) /négyzetre emelés

a^2=a^2+b^2 /-a^2

0=b^2, ebből 0=b, ami nem lehet, mivel 0 hosszú oldala nincs a téglalapnak.

Másik oldallal: b^2=gyök(a^2+b^2) /négyzetre emelés

b^2=a^2+b^2 /-b^2

0=a^2, innen a=0, ez megintcsak nem lehet.

Tehát téglalap nem lehet.