Hány olyan különböző háromszög szerkeszthető, amelynek minden oldala centiméterekben mérve egész szám, és a kerülete 17 cm. (Két háromszög különböző, ha nem egybevágó?

Ha a leghosszabb oldal 5 cm, akkor a kerület legfeljebb 15 cm lehet, tehát nem jó, a leghosszabb oldalnak legalább 6-nak kell lennie.

A leghosszabb oldal 9 már nem lehet, mert a háromszög-egyenlőtlenség miatt a másik kettő összege még hosszabb kell legyen (tehát legalább 10), de akkor a kerület már sok.

Vagyis a leghosszabb oldal 6, 7, 8 lehet.

a) 6 a leghosszabb:

Egyedül 6+6+5 lehet.

b) 7 a leghosszabb:

7+7+3

7+6+4

7+5+5

c) 8 a leghosszabb:

Ezt rád bízom...

Legyen

K = 17

c - a leghosszabb oldal

a, b = ?

A háromszög egyenlőtlenség értelmében

K - c > c (a + b > c)

K > 2c

K/2 > c

ill

s > c

Megfordítva

c < s

vagyis a leghosszabb oldal kisebb mint a fél kerület (ez a háromszög egyenlőtlenség másik megfogalmazása is lehet)

Mivel esetünkben

s = 17/2 = 8,5

ezért az ennél kisebb legnagyobb egész érték

c = 8

====

vagyis a háromszögek oldalai az 1 ≤ x ≤ c intervallum értékeit vehetik fel.

A következő táblázatban

- 1. oszlopban az x értéke

- 2. oszlopban zárójelben a (K - x) érték

- 3. oszlopban a lehetséges oldalpárok (a,b) láthatók vesszővel elválasztva

1 (16) - 8,8

2 (15) - 8,7

3 (14) - 8,6 - 7,7

4 (13) - 8,5 - 7,6

5 (12) - 8,4 - 7,5 - 6,6

6 (11) - 8,3 - 7,4 - 6,5

7 (10) - 8,2 - 7,3 - 6,4 - 5,5

8 (9) - 8,1 - 7,2 - 6,3 - 5,4

Az egybevágóak kiszűrése után

1 (16) - 8,8

2 (15) - 8,7

3 (14) - 8,6 - 7,7

4 (13) - 8,5 - 7,6

5 (12) - 8,4 - 7,5 - 6,6

6 (11) - 8,3 - 7,4 - [6,5]

7 (10) - 8,2 - [7,3] - [6,4] - [5,5]

8 (9) - [8,1] - [7,2] - [6,3] - [5,4]

csak a szögletes zárójelben levő párok maradtak.

Ezek száma 8, vagyis a feladat megoldása: Nyolc különböző háromszög szerkeszthető az adott feltételekkel.

Az oldalpárokból adódó pontok egyébként egy olyan ellipszisen helyezkednek el, melynek fókusztávolsága x, a vezérsugarak pedig az (a,b) értékek.

Aki otthon van a kombinatórikában, nem tudná a megoldást elegánsabban előállítani?

DeeDee

**********