Matekot kedvelők! Vektortér, altér. Hogyan kell megoldani az alábbi feladatot?

U bázisai:

u₁ = (1,2,1)

u₂ = (-1,1,1)

V bázisai:

v₁ = (0,3,2)

v₂ = (-2,-1,0)

Kicsit nézegetve ezeket gyorsan látszik, hogy v₁ = u₁+u₂, vagyis v₁ benne van U-ban (mert U bázisvektorainak lineáris kombinációja). Ha v₂ is benne lenne, akkor ugyanaz az altér a kettő.

És igen, u₂-u₁ = v₂

Nem biztos, hogy értem, amit kérdeztél...

Ha u₁ és u₂ az U altér két bázisvektora, akkor az altér összes vektora előállítható valamilyen a·u₁+b·u₂ lineáris kombinációként. Ezek közül a vektorok közül egyébként akármelyik kettő (amik nem egy egyenesben vannak) lehet bázis, és persze pont ugyanazokat a vektorokat lehet velük is kigenerálni.

Ha ugyanaz két altér, akkor ugyanazok a vektorok vannak bennük.

Most v₁ és v₂ is benne van az U altérben, az pedig azt jelenti, hogy U=V.

Ha csak az egyik van benne, akkor U≠V

Ha egyik sincs benne, akkor főleg nem ugyanaz a két altér.

Szemléletesen:

Ha csak v₁ van benne, akkor U és V két sík, amik egy egyenesben metszik egymást, és v₁ "véletlenül" éppen ebbe az egyenesbe esik.

Ha egyik sincs benne, akkor is két egymást metsző sík az U és a V, de "véletlenül" egyik bázisvektora sem esik bele a metsző egyenesbe.

(Olyan nincs, hogy két párhuzamos sík lenne, mert az origó mindig benne van ezekben a síkokban illetve alterekben.)

Pontosítás: ezek nem a bázisai, hanem a bázisvektorai.

vagy pedig a kettő együtt, u1 és u2 egy bázisa, de akkor egyes számban.