Két szabályos háromszög egy-egy oldalhosszának összege 20cm. Számítsuk ki a háromszögek oldalainak hosszát, ha területeik aránya 1:4?

Legyen a rövidebbik háromszög oldalhossza x cm, ekkor értelemszerűen a másiké 20-x cm (mivel ekkor az összegük 20 cm lesz). Tudjuk, hogy az 'a' oldalhosszú háromszög területe (a*a*gyök(3))/4, (ha pedig nem tudjuk, ezt könnyű levezetni), így ez alapján felírható a háromszögek területe:

kisebbiké: (x*x*gyök(3))/4

Nagyobbiké: ((20-x)*(20-x)*gyök(3))/4

Tudjuk, hogy ezek aránya 1:4, vagy máshogyan 1/4, így felírható ez az egyenlet:

(x*x*gyök(3))/4

_________________________ = 1/4

((20-x)*(20-x)*gyök(3))/4

Itt most szorozhatunk az osztó tört reciprokával:

(x*x*gyök(3))/4* (4/((20-x)*(20-x)*gyök(3)))= 1/4

Kiesnek a bal oldalon a 4-esek, így ez marad:

x*x*gyök(3)

_________________________ = 1/4

(20-x)*(20-x)*gyök(3)

És a gyök(3)-ak is:

x*x

_________________________ = 1/4

(20-x)*(20-x)

Felszorzunk a nevezőkkel:

4*x*x=(20-x)*(20-x)

A bal és a jobb oldal is felírható négyzetes alakban, de így talán átláthatóbb, ezért írtam. Most tudunk gyököt vonni:

2*x=20-x

Hozzáadunk x-et, majd osztunk 3-mal: x=20/3, vagyis az egyik háromszög oldalai 20/3 cm-esek, a másiké pedig 20-(20/3)=40/3 cm-esek.

Ha nagyon profik vagyunk, akkor ezt az egyenletet nem kell végigszenvednünk: tudjuk, hogy a két szabályos háromszög hasonló egymáshoz, és ha területeik aránya 1:4, vagyis 1/4, akkor az oldalak aránya ennek a gyöke, vagyis 1/2. Ebből ezt az egyenletet tudjuk kihozni:

x/(20-x)=1/2

Szorzunk:

2x=20-x, ebből pedig szintén kijön az x=20/3, ebből pedig a 40/3 a másik oldalra.

Ha valami nem érthető, kérdezz! :)