Egy mértani sorozat első három tagjának összege 26 ha az első taghoz eggyet a másodikhoz hatot a harmadikhoz hármat adunk egy számtani sorozat egymás követő tagjait kapjuk. Melyik ez a sorozat?

a0+qa0+q^2a0=26

qa0-(a0+6)=(q^2a0+3)-qa0

Egy megoldási lehetőség:

Legyen

a mértani sor

m1, m2, m3

a számtani sor

a1, a2, a3

Feltételek

(1) m1 + m2 + m3 = 26

(2) a1 = m1 + 1

(3) a2 = m2 + 6

(4) a3 = m3 + 3

Az utolsó három egyenletet összeadva

a1 + a2 + a3 = (m1 + m2 + m3) + 10

Mivel

a1 = a2 - d

a2 = a2

a3 = a2 + d

ezért

a1 + a2 + a3 = 3*a2

A jobb oldalon zárójelbe tett mennyiség a megadott összeg, így

3*a2 = 26 + 10

3*a2 = 36

és

a2 = 12

A 3. feltételből

m2 = a2 - 6

m2 = 6

A mértani sornál érvényes összefüggés szerint

m1*m3 = (m2)²

A 2. és 4. feltételből

m1 = a1 - 1 = a2 - d - 1 = 12 - d - 1

m1 = 11 - d

m3 = a3 - 3 = a2 + d - 3 = 12 + d - 3

m3 = 9 + d

Ezekkel

(11 - d)(9 + d) = 36

A zárójelek felbontása, majd összevonás után a

d² - 2d - 63 = 0

másodfokú egyenletet kapjuk.

Ennek a két gyöke

d1 = 9

d2 = -7

Ezek után a sorok

ha d = 9

a1 = a2 - d = 12 - 9

a1 = 3

=====

a2 = 12 (már kiszámítva)

======

a3 = a2 + d = 12 + 9

a3 = 21

======

m1 = a1 - 1

m1 = 3 - 1

m1 = 2

=====

m2 = 6 (már kiszámítva)

=====

m3 = a3 - 3 = 21 - 3

m3 = 18

======

A mértani sor hányadosa

q = m3/m2 (= m2/m1)

q = 18/6

q = 3

====

A d2-vel adódó sorok kiszámítása legyen a kérdező dolga. :-)

DeeDee

**********