Valaki eltudná magyarázni a két matekfeladatot? (feladatok lent)

Az első feladatot (közelítő értékekkel) kiszámoltam:

[link]

Remélem érthető? Várom, hogy valaki szebb megoldást adjon!

Hallgatás - beleegyezés:

[link]

Az első válaszoló kérésére következzék két algebrai megoldás. :-)

Lehet, hogy hosszabbak, de pontos értéket eredményeznek.

Az első válaszoló által kapott értékek

tgα = 1

tgß = 2

tgγ = 3

A feladat szerint

tgα:tgß:tgγ = 1:2:3

Ebből

tgß/tgα = 2

tgγ/tgα = 3

(1) módszer

Az első egyenlet

tgß/tgα = 2

A tangenst a szinusz-koszinusz függvénnyel kifejezve

(sinß/cosß)/(sinα/cosα) = 2

Átcsoportosítva

(sinß/sinα)*(cosα/cosß) = 2

A szinusz tétel szerint az első tényező: b/a, így

(b/a)*(cosα/cosß) = 2

b/a = 2*cosß/cosα

A koszinusz függvényt a tangenssel kifejezve

cosα = 1/√(1 + tg²α)

cosß = 1/√(1 + tg²ß)

ezeket behelyettesítve kapjuk

b/a = 2*√(1 + tg²α)/√(1 + tg²ß)

A tangens fenti értékeit behelyettesítve

b/a = (2*√2)/√5

b/a = √(8/5)

=========

Ugyanezt a módszerrel a

tgγ/tgα = 3

egyenletből adódik, hogy

c/a = √(9/5)

=========

Ezek után a háromszög oldalai

a = a

b = a*√(8/5)

c = a*√(9/5)

vagyis az oldalak aránya

a:b:c = 1:√(8/5):√(9/5)

==================

ami pontosan egyezik Száldobágyi mester eredményével. :-)

***********************************************************************

(2) módszer

tgß/tgα = 2

tgγ/tgα = 3

A fentebb már alkalmazott tangens --> szinusz-koszinusz helyettesítéssel

b/a = 2*cosß/cosα

c/a = 3*cosγ/cosα

A változás annyi, hogy a koszinusz értékeket nem tangenssel, hanem a koszinusz tételből adódó értékekkel helyettesítjük

Vagyis:

cosα = (b² + c² - a²)/2bc

cosß = (a² + c² - b²)/2ac

cosγ = (a² + b² - c²)/2ab

A helyettesítést elvégezve, majd egyszerűsítés, összevonás után a következő két egyenletet kapjuk

1. c² = 3b² - 3a²

2. 2c² = b² + 2a²

Az egyenletrendszer megoldása

b/a = √(8/5)

Ebből b²-t kifejezve és az 1. egyenletbe behelyettesítve lesz

c/a = √(9/5)

ugyanúgy, mint az első módszernél.

Ez utóbbi megoldás hosszabb, mint az első, de ötletet adó változatként elfogadható.

Bevallom, nekem is ez jutott először eszembe, aztán kezdtem azon gondolkodni, nincs-e rövidebb megoldás.

DeeDee

*********