Legyen a (n) egy valós számsorozat. Állítás 1: a (n) 0-hoz tart. Állítás 2: a (n) minden részsorozatából kiválasztható 0-hoz tartó részsorozat. Mi a logikai kapcsolat a két állítás között? Melyikből következik a másik? Miért?

Szerintem meg igaz visszafele is. Ha ugyanis nem tartana 0-hoz, akkor lenne egy nem 0-hoz tartó részsorozata, de ebből a részsorozatból az állítás szerint kiválasztható egy 0-hoz tartó részsorozat, ami ellentmondásnak tűnik.

De ha például mutatsz egy ellenpéldát, akkor te nyersz.

> „Ha ugyanis nem tartana 0-hoz, akkor lenne egy nem 0-hoz tartó részsorozata, de ebből a részsorozatból az állítás szerint kiválasztható egy 0-hoz tartó részsorozat, ami ellentmondásnak tűnik.”

Oké, ez így még gyenge…

Tegyük fel indirekt, hogy a második állítás igaz, de az első nem. Két lehetőség van: A) a(n)-nek van torlódási pontja, B) a(n) nincs torlódási pontja.

A) Ha csak egy torlódási pontja van, és az a 0, akkor 0-hoz tart, és ez ellentmondás. Ha több is van neki, akkor válasszuk ki egy olyan részsorozatát, ami egy 0-tól különböző X torlódási pont ε = |X/2| sugarú környezetében van. A második állítás szerint minden részsorozatból, tehát ebből is kiválasztható egy 0-hoz tartó részsorozat, ami ellentmondás, hiszen itt minden elem abszolút értéke nagyobb |X/3|-nál, így ebből nehezen választunk ki 0-hoz tartó részsorozatot.

A B) eset meg legyen házi feladat, hagy ne körmöljem le azt is.