Hogy oldható meg a konvolúciós tétel használatával ez a feladat?

Az egyenlet Laplace transzformáltja:

ℒ{y'}(s) + ℒ{y}(s) = ℒ{g}(s)

s·Y(s) - y(0) + Y(s) = G(s)

y(0) = 0 miatt

(s+1)·Y(s) = G(s)

Y(s) = 1/(s+1) · G(s)

A konvolúciós tétel szerint konvolúció Laplace transzformáltja a transzformáltak szorzata (ha az s valós része elég nagy), illetve fordítva, szorzat inverz Laplace transzformáltja a függvények konvolúciója.

Most 1/(s+1) és G(s) szorzatát kell inverz Laplace-olnunk, amiből tehát konvolúció lesz:

- 1/(s+1) inverz Laplace transzformáltja f(t) = e^(-t)

- G(s) inverze természetesen g(t)

vagyis y(t) = (f * g)(t), ahol csillaggal jelöltem a konvolúciót. Kiírva:

          t

y(t) = ∫ f(t-u) g(u) du       (t ≥ 0)

          0

y(t) = ∫ e^(-t+u)·g(u) du

(nem írtam ki megint a határokat... 0-tól t-ig kell integrálni természetesen)