Egy mértani sorozat első négy tagjának összege 40, a második, harmadik, negyedik és ötödik tag összege pedig 120. Melyik ez a sorozat? Határozd meg az első öt tag összegét is!

Fel lehet írni két egyenletet:

I. 40=a(1)*(q^4-1)/(q-1)

II. 120=(a(1)*(q^5-1)/(q-1))-a(1)

Ezt az egyenletrendszert megoldod, és megkapod a(1)-t és q-t, amiből kiszámolható a sorozat első 5 tagjának összege (S(5)) is.

Próbálkozással is megoldható. Mivel az első négy tag összege csak 40, egy kis logikával: ha a hányados 3 lenne, már a negyedik tag is 3^4= 81 lenne minimum.

Ha a hányados 2, akkor... 2 perc kipróbálni, mennyi lehet az első tag.

#2: ezzel a próbálkozással csak két gond van; az egyik, hogy nem biztos, hogy a sorozat tagjai vagy a hányados egész szám (sőt, lehet hogy még csak nem is racionálisak), ráadásul nem biztos, hogy csak 1 sorozat felel meg a kritériumoknak.

I. 40=a(1)*(q^4-1)/(q-1)

II. 120=(a(1)*(q^5-1)/(q-1))-a(1)

Ha osztod egymással a két egyenletet, akkor ezt kapod:

3=(q^5-1)/(q^4-1)-(q-1)/(q^4-1)

A jobb oldalon összevonjuk a két törtet:

3=(q^5-q)/(q^4-1)

Kiemelünk q-t a jobb oldalon:

3=q*(q^4-1)/(q^4-1)

Értelemszerűen tudunk q^4-1-gyel egyszerűsíteni, így

3=q eredményt kapjuk.

A többit szerintem innen már meg tudod oldani.