Hogy oldjuk meg azt az egyenletet amikor sin5x=gyök3 osztva 2-vel?

Akkor segítek: legyen 5x=p, ekkor

sin(p)=gyök(3)/2

Ezt felírod úgy, ahogy szoktátok, hogy

I. negyedben: p=...

II. negyedben: p=...

Ha ez megvan, akkor p helyére visszaírjuk az 5x-et, ekkor ez lesz:

I. negyedben: 5x=..., itt osztunk 5-tel, így x=.../5 (ha nem törtalakban hagyod meg az egészet, akkor ne felejtsd el a periódust is osztani 5-tel)

II. negyedben: 5x=..., innen ugyanúgy: x=.../5

Remélem sikerül innen megoldani.

(Ha csak 0°és 90° között értelmezitek a szögfüggvényeket, akkor csak visszakeresed, és felírod, hogy 5x=60°, innen x=12°és kész is vagy).

Utolsóra:

legalább 13-at kell kivenni

Indok:

12 kevés, mert előfordulhat, hogy csak 3-féle színt veszünk ki.

13 pedig elég, mert semelyik 3 színből nincs összesen 13.

Na, akkor rendbe kell itt rakni sok mindent...

Először is, az I. negyedben ugye az jött ki, hogy x=12°. A második negyedben így kellene számolnunk:

p=180°-60°, vagyis p=120°, ebből 5x=120°, tehát x=24°. Az ellenőrzés pedig úgy megy, hogy x helyére beírod az eredményeket, és kiszámolod.

Ha a valós számok halmazán értelmezzük a függvényt, akkor ennél egy kicsit bonyolultabb a megoldás.

Kiindulhatunk abból, amit megoldottunk az előbb, viszont még ki kell egészítenünk:

I. negyedben: p=60°+k*360°, ahol k tetszőleges egész. Ez azért kell, mert ha a vektort (az egységkörben) 60°-kal, 420°-kal, 780°-kal, és így tovább, akkor a vektor mindig ugyanoda fog érkezni, ezért ezeknek a szögeknek ugyanaz lesz a szinusza. A p-t leváltva az egyenlet:

5x=60°+k*360°, innen a megoldás x=12°+k*72°, tetszőleges k egészre. Erre mondtam az előző hozzászólásomban, hogy a periódust is osztani kell 5-tel (típushiba, így erre érdemes odafigyelni).

Igen ám, de az egyenlet megoldása a valós számok halmaza, és a szögek nem valós számok (nem tudom pontosan, miért, de így van), ezért a szögeket át kell váltanunk radiánba. A radián azt adja meg, hogy ha az egységkörben a vektort elforgatjuk, akkor a vektor végpontja mekkora utat tesz meg. Például, ha 360°-kal forgatjuk el, akkor megtesz egy teljes kört, tehát 2*1*pí=2pí utat tesz meg. Azt is tudjuk, hogy ha például 6-szor fordulna el 60°-kal a vektor, akkor is megtenné a 2pí utat, és minden egyes elfordulásnál ugyanakkora részét tenné meg a körívnek, pontosan az 1/6-át, tehát 60°-os elfordulásnál 2*pí/6=pí/3 utat tenne meg. Ugyanez igaz akármelyik 0°<=Ł<360° szögre is, vagyis használhatjuk az egyenes arányosságot a megoldás felírásához.

Az I. negyedbeli megoldásban 12°-ot és 72°-ot kell átírnunk radiánba. Ennek a menete a következő lesz:

360°->2pí /osztunk 360-nal

1°->2pí/360 /szorzunk 12-vel

12°->24pí/360, ezt még tudjuk egyszerűsíteni: pí/15

A 72°-hoz 72-vel kell szoroznunk: 72°->144pí/360=2pí/5

Tehát a fokos megoldás radiános alakja: x=(pí/15)+k*(2pí/5), k tetszőleges egész

A II. negyedben ez lesz a megoldás

fokban: x=24°+k*72°

radiánban: x=(2pí/15)+k*(2pí/5), k tetszőleges egész.

Az ellenőrzés úgy megy, úgy, ahogy van, beírod x helyére, beszorzol, aztán észreveszed, hogy k*2pí lesz a szinuszon belül, amiről tudjuk, hogy pontosan megegyezik a szinuszfüggvény periódusával, így az elhagyható, így marad sin(pí/3), ami pontosan gyök(3)/2-vel egyenlő (a számológépedet ne felejtsd el átváltani radiánba). Ugyanez a helyzet a második negyedes megoldással is.

2.

x^2=(3x+4)/2 /*2

2x^2=3x+4 /0-ra redukáljuk a jobb oldalt

2x^2-3x-4=0, ezt a megoldóképlettel kiszámoljuk: x(1)=(3+gyök(41))/4 és x(2)=(3-gyök(41))/4, ezekről tudjuk, hogy nem egészek, tehát az egyenletnek nincs megoldása az egész számok halmazán. Ha viszont valamit félreértettem, vagy te elírtad, akkor pontosítsd, hogy meg tudjam oldani a feladatot pontosan.

A harmadiknak már leírták a megoldását.

Ennek ugyanez a számolása is, és a gondolatmenetet skatulya-elvnek nevezzük.

Ha koszinusz van, akkor annyiban változik, hogy egyrészt más x lesz a megoldás (a koszinuszon belüli kifejezés értéke pí/3 helyett pí/6 lesz, és ezzel kell számolni), másrészt a koszinusz az I. és a IV. negyedben pozitív, tehát a IV. negyedbe kell belépnünk, és nem a másodikba, ami a tanultak alapján 360°-Ł, vagy radiánban 2pí-i (i, mint ívhossz). Viszont ha koszinusz van, akkor egy kis "csalást" elkövethetünk; tudjuk, hogy a koszinuszfüggvény páros, vagyis tengelyesen szimmetrikus az y-tengely. Volt nekünk egy másik függvényünk, ami ugyanígy páros volt, és a következőképpen számoltunk: legyen az egyenlet:

x^2=9, ennek a megoldása x=+-3 volt (a + és a - egymás alatt vannak). A koszinusznál ugyanezt eljátszhatjuk; ha például az egyenlet

cos(3x)=1/2, akkor két egyenletet írhatunk fel:

(I. negyed szerint) 3x=pí/3+k*2pí, innen x=pí/9+k*2pí/3, k tetszőleges egész

(IV. negyed szerint): 3x=-pí/3+k*2pí, innen x=-pí/9+k*2pí/3, k tetszőleges egész

Remélem ennyiből megérted.