Megkérnék valakit, vezesse le az alábbi feladatot. Kapcsoljunk sorba egy 1,2 kOhm-os és egy 2,4 kOhm-os ellenállást, és ezekkel párhuzamosan egy 1 kOhm-os ellenállást. Mind három terhelhetősége 100 W. Mekkora a maximális teljesítmény a rendszeren?

1) A használt mértékegységek:

Hogy összeillők legyenek,

- a feszültségé legyen V (Volt),

- az áramerősségé legyen A (Amper),

- az ellenállásé legyen Ω (Ohm),

- a teljesítményé legyen W (Watt).

2) A használt jelölések:

- R1: 1000 Ω (a „kilo” jelentése: „ezer”; így az „1 kiloohm”-ban a „kilo”-t „ezer”-re cserélve: „1 ezer ohm” lett)

- R2: 1200 Ω

- R3: 2400 Ω

- a rajtuk eső feszültségek legyenek, rendre, U1, U2, U3

- a rajtuk átfolyó áramerősségek legyenek, rendre, I1, I2, I3.

3) Néhány meglátás:

- a sorba-kapcsolás miatt I2 = I3

- a párhuzamos kapcsolás miatt U1 = U2 + U3

- a soros ágban, az ellenállások értékeinek aránya miatt U3 = 2*U2

- a párhuzamos ágakban folyó áramerősségek fordítottan arányosak az egyes ágakban levő ellenállások értékeivel.

A soros ágban az eredő ellenállás 1200 Ω + 2400 Ω = 3600 Ω

A másik ágban az ellenállás 1000 Ω.

Tehát I1 / I2 = 3600 / 1000 = 3,6.

Mivel I2 = I3, I1 / I3 = 3600 / 1000 = 3,6.

4) A maximális 100 W-hoz a maximális értékek:

- P = U1²/ R1 → U1² = P * R1 = 100 * 1000 = 100000.

U1 = √100000 ≈ 316,23 V

- P = I1² * R1 = → I1² = P / R1 = 100 / 1000 = 0,1

I1 = √0,1 ≈ 0,316 A

Jól számoltunk, mert P = U1 * I1 = √100000 * √0,1 = 100.

Ez utóbbi sort itt nem tudom jó formában leírni, szavakkal furcsán hat, de:

100000 az tíz az ötödiken, és ez négyzetgyök alatt: azt jelenti, hogy az egy-kettediken van.

És 5-ször 1/2 az 5/2, tehát tíz az öt-kettediken.

0,1 az tíz a mínusz elsőn, és ez négyzetgyök alatt: azt jelenti, hogy az egy-kettediken van.

És mínusz egyszer 1/2 az mínusz egy-ketted, tehát tíz a mínusz egy-kettediken.

Tíz az öt-kettediken szorozva tíz a mínusz egy-kettediken: összevonva a kitevőket, az tíz a négy-kettediken, egyszerűsítés után tíz a másodikon, azaz 100.

- P = U2²/ R2 → U2² = P * R2 = 100 * 1200 = 120000.

U2 = √120000 ≈ 346,41 V

- P = I2² * R2 = → I2² = P / R2 = 100 / 1200 = 1 / 12

I2 = √(1/12) ≈ 0,289 A

Jól számoltunk, mert P = U1 * I1 = √120000 * √(1/12) = 100.

- P = U3²/ R3 → U3² = P * R3 = 100 * 2400 = 240000.

U3 = √240000 ≈ 489,90 V

- P = I3² * R3 = → I3² = P / R3 = 100 / 2400 = 1 / 24

I3 = √(1/24) ≈ 0,204 A

Jól számoltunk, mert P = U1 * I1 = √240000 * √(1/24) = 100.

A soros ellenállások feszültségeséseinek összege √120000 + √240000 ≈ 836,31 V.

• A soros-ellenállásos ágban a maximális áram √(1/24) A (≈ 0,204 A) lehet, mert ez a kisebb érték, ami az egyik ellenálláson (R3) már 100 W teljesítményt jelent. Ezen az ellenálláson ettől nagyobb áramerősség nem folyhat.

• A teljes kapcsoláson a maximális feszültség √100000 (≈ 316,23) V lehet, mert, bár a soros-ellenállásos ágra nagyobbat is lehetne kapcsolni, a másik ágban levő 1 kΩ-os ellenállásnak ez sok lenne.

5) Ellenőrzés:

Az 1 kΩ-os ellenálláson a √100000 V-os feszültég esetén a teljesítmény:

P = U1²/ R1 = (√100000) ² / 1000 = 100000 / 1000 = 100 W.

Tehát itt maximálisan ki lett használva a lehetőség.

6) A végeredmény:

Mekkora a teljesítmény a soros ágban levő ellenállásokon?

Azok összege (eredője) 1200+2400=3600 Ω.

Az ott folyó áramerősség: U/R = (√100000) / 3600.

Az 1200 Ω-os ellenálláson a teljesítmény I²*R = ((√100000) / 3600) ² * 1200 ≈ 9,26 W.

A 2400 Ω-os ellenálláson a teljesítmény I²*R = ((√100000) / 3600) ² * 2400 ≈ 18,52 W

Mindkettő elviseli, hiszen jóval kisebb értékek, mint 100 W.

Ezeket hozzáadva az 1 kΩ-os ellenállás 100 W-os teljesítményéhez:

100 W + 9,26 W + 18,52 W ≈ 127,78 W a rendszer összteljesítménye.