Egy körnek az egyik húrja 16 cm. Számitsd ki a kör középpontjának a húrtól mért távolságát, ha a kör sugara 10 cm. (? )

Készíts egy ábrát: (csak vázlat kell, ne szerkessz!)

1. Rajzold meg a kört, aztán a középpontját

2. Rajzold be a húrt

3. A húr két fégpontját kösd össze a kör középpontjával

Így kapsz egy háromszöget (egyenlőszárú), aminek két oldala a kör 1-1 sugara, a 3. oldala pedig a húr.

Kösd össze a kör középpontját és a húr felezőpontját. Ez a szakasz merőleges a húrra. Tehát ennek a szakasznak a hossza a húr és a középpont távolsága.

(Ez a szakasz valójában az egyenlőszárú háromszögünk szimmetriatengelye.)

Ez a szakasz ugye két kisebb háromszögre osztja a nagyobb háromszöget. Vizsgáljuk meg az egyik ilyen kisebb háromszöget!

1. Derékszögű

2. Az átfogója a kör sugara (10 cm)

3. Az egyik befogója az a merőleges szakasz, aminek a hosszát keressük (x)

4. A másik befogója a húr fele (8 cm)

Írjuk fel ebben a derékszögű háromszögben a Pitagoras-tételt!

x^2 + 8^2 = 10^2

x^2 + 64 = 100

x^2 = 36

x = 6 cm

Tehát 6 centiméter a kör középpontjának és a húrnak a távolsága.

#1: erdemes fejben tartani az elso nehany Pitagoraszi szamharmast:

(3,4,5) vagy (5,12,13), es ezeknek a nehanyszorosat. Akkor rogton latszik, hogy a 10 es 8 mellett 6 lesz a masik befogo. (de egyebkent igen, igy is toleletes a megoldas)

kerdezo:

Meg egy masik, kicsit bonyolultabb modszer: ugye van egy haromszogunk, aminek az oldalai 10,10,16 cm, es a 16 cm-es oldalhoz tartozo magassagot keressuk. Ha nem jut eszedbe a befogos modszer, fel lehet irni a haromszog teruletet ketfelekepp: egyreszt van az alap*magassag/2, masreszt van a Heron-keplet: gyok(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) ahol s a kerulet fele.

Utobbi miatt: (a kerulet itt 10+10+16=36, ennek a fele 18)

gyok(18*(18-10)*(18-10)*(18-16))=gyok(2304)=48 cm^2

Maskepp felirva:

alap*magassag/2=16*m/2, ez lesz 48 cm^2 (amit az elobb kiszamoltunk)

8*m=48, m=6 cm

Hosszabb szamolas, rondabb, de az az elonye, hogy butan megy, es nem kell megsejteni, hogy milyen segedvonalat huzz be a haromszogbe (ami ebben az esetben adta magat, de nem mindig). Tovabbi elonye, hogy mas jellegu megoldasokert neha jar pluszpont :)

Bonusz1: Ha a Heron kepletbe szamolas helyett behelyettesited hogy mondjuk a=b akkor ki fog jonni a Pithagorasz teteles keplet a magassagra.

Bonusz2: Ezek utan ha talalsz a Heron kepletre olyan bizonyitast amihez nem kell Pithagorasz tetel akkor bebizonyitottad azt is.