Vajon mennyivel mehet a vonat? Erre a matek kérdésre keresem a választ;

Szeretem a matematika egyenleteket úgy megoldani, hogy minden egyes közbenső lépésnek is szemléletes jelentése legyen. A lineáris egyenletes példáknál sokszor lehet kidejezetten szellemes átfogalmazásokat adni.

Sajnos, ez egyelőre még nem sikerült. Tudok megoldást mondani, de nem ígérhetem, hogy a magyarázat mindvégig teljesen szemléletes lesz. A közvetlen fizikai jelentést csak az első és az utolsó sorban tudom garantálni, a köztes lépések során egyelőre nem tudok szemléletes értelmet adni a részlépéseknek, de persze a legeslegvégén a megoldás fizikalag is értelmes lesz.

960 km a pályaszasz hossza. A tehervonat sebességét jelöljük v-vel. Ha a tehervonat épp 1 km/óra sebességgel menne, akkor 960 óra alatt tenné meg az utat. Kétszer gyorsabb tehervonat (2 km/ó) már feleannyi idő alatt (480 ó) is megtenné az utat. Hogy egyetlen képletben fejezzem ki az összefüggést: v sebességű vonat éppen 960/v óra idő alatt teszi meg a pályaszakaszt

A feladat szövegét a

960 / (v + 20) + 4 = 960 / v

egyenlet fejezi ki. Itt még minden egyes részkifejezésnek teljesen személetes, közvetlen jelentése van.

v: a tehervonat sebessége

v + 20: a személyvonat sebessége

960 / (v + 20): hány óra alatt teszi meg a személyvonat a 960 kilométeres pályasszakaszt?

960 / v: hány óra alatt teszi meg a tehervonat a 960 kilométeres pályasszakaszt?

960 / (v + 20) + 4 = 960 / v:

A személyvonat gyorsabb, mint a tehervonat, kevesebb idő alatt is megteszi az utat. Az időigényük között éppen 4 óra a különbség. Ha a gyorsabb, kisebb időigényű személyvonat útidejéhez hozzáadok még négy órát, akkor pont megkapom a lassabb (nagyobb időigényű) tehervonat útidejét.

Hát ez az egyenlet. Mielőtt megoldanánk, kérdezzük meg a Wolfram Alpha-t:

[link]

Két megoldást ad a tehervonat sebességére:

60 km/h

- 80 km/ó

Ha nagyon erőltetem a dolgot, talán lehet értelmes jelentést tulajdonítani a negatív megoldásnak is, de ez kérdéses, és nagyon erőltetett. Ez a lehetséges jelentés, ha van egyáltalán, annyira ellentétben áll a feladat szövegének foglmazásmódjával, hogy jó okkal feltételezhetjük, hogy a feladat kitalálója nem tartja kivánatosanak ezt a lehetséges értelmezést, biztosan nem erre gondolt. Szóval a negatív megoldást inkább kizárhatjuk. (Úgy lehetne értelmezni, hogy a tehervonar 80 km/ó sebességgel tolat, a személyvonat pedig csak 60 km/ó sebességgel tolat. A pályaszakasz pedig egyik sem teszi meg soha, sőt mindkettő egyre távolodik a céltól. Ezt a megoldást a feladat szemszögéből nyugodtan kizárhatjuk.)

A szóbajövő másik (pozitív) megodásnak viszont már egyértelműen értelmes fizikai jelentése van, és ha ellenőrizzük, jó is.

A tehervonat 60 km/h sebességgel halad előre, a szemmélyvonat pedig 80 km/óra sebeséggel. A tehervonat 960/60=16 óra alatt teszi meg a 960 km-es utat, a személyvonat pedig 960/80 = 12 óra alatt. Az időkülönbözet tényleg 4 óra.

A megoldási módról még nem beszélte, rábíztam azt a Wolfram Alpha-ra. No, még egyelőre nem tudtam megoldani máshogy, csak a szokásos ,,beszorzásos'' módon.

960 / (v + 20) + 4 = 960 / v

A kikötések megtétele után, mindkét oldalt beszorzom a v*(v+20) polinommal

960v + 4v(v+20) = 960(v+20)

és az így eredő másodfokú egyenletet megoldom

4v²+80v-19200=0

v² + 20 - 4800 = 0

Ez megoldható a szokásos megoldóképlettel is, de aki szereti a szellemesebb megodásokat is, az megoldhatja teljes négyzetté kegészítéssel, vagy a Viete formulák sugallta átalakítással is:

v² + 20 - 4800 = 0

(v-60)·(v+80) = 0

vagy teljes négyzetté való kiegészítéssel is megoldható:

v² + 20 - 4800 = 0

(v+10)² - 4900 = 0

Azt nem tudom még, hogy vajon van-e olyan szellemes megoldási módja ennek a konkrét példának, ami mindvégig fentartja a fizikai szemléletességet a levezetés részlépései során is. (A lináris egyenletes példáknál sokszor szokott ilyen lenni.) Esetleg, ha a ,,területi sebesség'' fogalmát bevezetem, lehetséges ennek a példának is a szemléletes, mindvégig közvetlen fizikai jeletéssel bíró tárgyalásmódja, de ezt még nem gondoltam át, lehet, hogy nagyon erőltetett lenne.

Nagyon köszönöm a visszajelzést és a biztatást.

Sok sikert kívánok a másik két feladathoz (hogy sikerüljenek, vagy érkezzék rájuk jó válasz).