Hány megoldása van a sin2x=sinx egyenletnek a [0; 3 (pí) /2] intervallumon?

// Legközelebb zárójelezz légyszi...

// 1. HA sin(2x) = sin(x)

2 * sin(x) * cos(x) = sin(x)

2 * sin(x) * cos(x) - sin(x) = 0

sin(x) * (2 * cos(x) - 1) = 0

// Egy szorzat pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezője 0.

sin(x) = 0

x1 = 0

x2 = pí

2 * cos(x) - 1 = 0

cos(x) = 1/2

x3 = 1/3 * pí

------------------------

// 2. HA sin^2(x) = sin(x)

sin^2(x) - sin(x) = 0

sin(x) * (sin(x) - 1) = 0

// Egy szorzat pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezője 0.

sin(x) = 0

x1 = 0

x2 = pí

sin(x) - 1 = 0

sin(x) = 1

x3 = 1/2 * pí

Az addíciós képletek alapján

2*sin(x)*cos(x)=sin(x)

Könnyen észrevehető, hogy ha sin(x)=0, akkor megoldáshoz érünk, tehát x=0+k*pí (k egész) esetén. Ha viszont az nem 0, akkor oszthatunk vele:

2*cos(x)=1, vagyis cos(x)=1/2. Ennek a megoldásait is ismerjük:

I. negyeden: x=pí/3+k*2pí

IV. negyedben: x=-pí/3+k*2pí, k tetszőleges egészre.

Most már csak azt kell meghatározni, hogy az adott megoldások milyen k esetén esnek bele az intervallumba; ha tekintjük a sin(x)=0 megoldásait, akkor

0<=0+k*pí<=3pí/2, vagyis 0<=k<=3/2, ez k=0 és k=1 esetén lesz csak igaz, tehát itt 2 megoldást találtunk.

cos(x)=1/2 esetén

I. negyedben: 0<=pí/3+k*2pí<=3pí/2, vagyis -1/6<=k<=7/12, ez csak k=0 esetén fog teljesülni, tehát itt csak 1 megoldás van.

IV. negyedben: 0<=-pí/3+k*2pí<=3pí/2, vagyis 1/6<=k<=11/12, ennek nincs megoldása.

Tehát az egyenletnek a megadott intervallumon 3 megoldása van.