Egy egyenes körkúp térfogata 4,37m alkotói az alaplappal 67 fokos szöget zárnak be. Mekkora a kúp felszíne?

A térfogat az alapterület és magasság szorzatának harmada.

Körkúp lévén az alapterülete egy kör területe, amit a sugár ismeretében ki lehet számolni.

De, nem ismert a sugár (sem más köradat, például: átmérő, kerület, terület), amiből kiszámítható lenne. És nem ismert a kúp magassága sem.

Viszont az alkotó alaplappal bezárt szögéből meghatározható a magasság és a sugár aránya; ugyanis, ezek, az alkotóval, derékszögű háromszöget képeznek.

Az adott szög melletti befogó az alapkör sugara (r); az adott szöggel szemközti befogó a kúp magassága (m).

Ha a szög α, akkor sin(α) = m/r, ahonnan

m = r * sin(α) = r * 0,920505

A térfogat (T) az alapterület és magasság szorzatának 1/3-a:

T = 1/3 * r² * π * m

4,37 = 1/3 * r² * π * m ← m helyébe beírom a 0,920505*r formát

4,37 = 1/3 * r² * 3,14 * 0,920505 * r

4,37 = 0,963462 * r³

r³ = 4,535727

① r = 1,655321

② m = 0,920505 * 1,655321 = 1,52373

E l l e n ő r z é s :

T = 1/3 * 1,655321² * 3,14 * 1,52373 = 4,37 (ha a 4,37m az 4,37 m³, akkor m³.)

A felszín (F) számításához az alkotó (a) hossza is szükséges.

Pitagorasz tétele alapján (itt): a = négyzetgyök alatt r² + m²

a = √(1,655321² + 1,52373²) = 2,24985

F = π*r² + π*r*a

F = 3,14*1,655321² + 3,14*1,655321*2,24985 ≈ 20,2979 (m², ha a térfogat m³-ben volt megadva)

V á l a s z :

A kúp felszíne 20,2979 (m²? Attól függ, milyen mértékegység van a feladatban.)

Elméletileg jó, de egy apró tévedés miatt gyakorlatilag rossz a megoldás.

"Ha a szög α, akkor sin(α) = m/r, ..."

A magasság és a sugár hányadosa a megadott szög tangensét és nem a szinuszát adja.