L hosszúságú szegmensből véletlenszerűen választunk ki két pontot. Keressük a valószinűségét annak, hogy a két pont közötti távolság kevesebb, mint K*L. 0<K<L?

Gondolom 0<K<1-et akartál írni.

Amit te keresel, az két (0,1) intervallumon értelmezett, egyenletes eloszlású valószínűségi változó különbségének abszolútértékének eloszlásfüggvénye.

Abszolútérték nélkül a két, (0,1)-en egyenletes eloszlású valószínűségi változó különbségének sűrűségfüggvénye ez:

[link]

Mivel neked a szakasz hossza, azaz a különbség abszolútértéke kell, a negatív tartományt tükrözve hozzáadod a pozitívhoz, amiből egy olyan függvényt kapsz, ami 0 és 1 között 2-2x, azon kívül pedig mindenhol 0.

A dolgod már csak ebből a sűrűségfüggvényből eloszlásfüggvényt csinálni, azaz integrálni. Ez nem valami nehéz: x<0-ra 0, 0<x<1 intervallumban 2x - x^2, és 1<=x esetén pedig 1. Mint láthatod, ez egy helyes eloszlásfüggvény: mínusz végtelenben nulla, monoton nő, és plusz végtelenben pedig 1.

Tehát 0<K<1 függvényében a keresett valószínűség: 2K - K^2.