Mi az integrálja Se^2x*sin^2xdx?

Ezt tudod:

∫ f '·g dx = f·g - ∫ f ·g' dx

Az exponenciális függvényt könnyű integrálni, ezért azt érdemes f '-nek választani.

f(x)' = e^(2x) → f(x) = e^(2x) / 2

g(x) = sin²(x) → g(x)' = 2·sin(x)·cos(x) = sin(2x)

(1) ∫ e^(2x)·sin²x dx = 1/2 · e^(2x) · sin²(x) - 1/2 · ∫ e^(2x) · sin(2x) dx

Az integrálos tagot újra parciálisan integráljuk. f(x) marad ugyanaz, g(x) = sin(2x) → g(x)' = 2·cos(2x).

Csak az integrálos rész ez lesz:

(2) ∫ e^(2x)·sin(2x) dx = 1/2 · e^(2x)·sin(2x) - ∫ e^(2x) · cos(2x) dx

Megint parciális, most g(x) = cos(2x) → g(x)' = -2·sin(2x)

Újra csak az utolsó integrálos rész:

(3) ∫ e^(2x) · cos(2x) dx = 1/2·e^(2x)·cos(2x) + ∫ e^(2x) · sin(2x) dx

Most már a teljes (2) kifejezést érdemes felírni, mert kijött ugyanaz, amiből (2)-ben kiindultunk, és ez jó:

(2b) ∫ e^(2x)·sin(2x) dx = 1/2 · e^(2x)·sin(2x) - 1/2·e^(2x)·cos(2x) - ∫ e^(2x) · sin(2x) dx

Átvisszük az integrált a bal oldalra:

2·∫ e^(2x)·sin(2x) dx = 1/2 · e^(2x)·sin(2x) - 1/2·e^(2x)·cos(2x)

Itt azért vigyázni kell, hogy a konstans el ne tűnjön, szóval hozzá kell adni a C-t!

Végül persze 2-vel osztunk:

∫ e^(2x)·sin(2x) dx = 1/4 · e^(2x)·(sin(2x) - cos(2x)) + C₂

Ezt már beírhatod (1)-be, és kész.

(1b) ∫ e^(2x)·sin²x dx = 1/2 · e^(2x) · sin²(x) - 1/8 · e^(2x)·(sin(2x) - cos(2x)) + C₃

Ezt még lehet kicsit variálni, hogy egyszerűbb alak jöjjön ki, de az már nem az integrálás része.