S. O. S kamatos kamat feladatok?

És nem tudsz olvasni, vagy mi? Olvasásóra is kimaradt még alsóban?

Bakker ott a tartalomjegyzék, keresd ki. Szépen táblázatosan minden össze van szedve...

Amúgy egy percembe került megkeresni:

[link]

Itt találsz egy csomó kidolgozott példa, ezekből megérthető az egész.

④

- Az 1. napi bér 1000 Ft.

- Ennek 5%-a (vagyis 5/100-a; hiszen a % = század): 1000 * 0,05 = 50 Ft. Ennyivel nőtt az 1. napi bére, tehát a 2. napon 1000 + 50 = 1050 Ft-ot kapott.

- 1050 5%-a 1050 * 0,05 = 52,5, tehát a 3. napon 1050 + 52,5 = 1102,5 Ft-ot kapott.

…

Hogyan számoltunk? Az előző napihoz (ami az alap, a 100%, azaz 100/100, vagyis 1) hozzáadtuk a kamatot (ami 0,05), azaz az 1,05-szorosát kaptuk. A következő napon ez alap, a 100%, aminek újra az 1,05-szorosát vettük.

((1000 * 1,05) * 1,05) *1,05… Hányszor kell 1,05-tel szorozni? Ahány napig emelgettek. A 22. napi fizetés a kérdés, tehát 21 napon át emelgettek.

1000 * (1,05^21) ≈ 1000 * 2,786 = 2786 Ft.

V á l a s z : A segédmunkás bére a hó végén 2786 Ft.

③

Az 1. raktár 100 m²-es, a 6. 200 m²-es.

A mértani sorozat olyan számsorozat, ahol a szomszédos tagok hányadosa állandó. (Ezt az állandót q-val szokás jelölni.)

Az 1. raktár 100 m²-es, a 2. 100*q, a 3. (100*q) * q, a 4. ((100 * q) * q) * q …

(A sorozat 1. tagját – itt a 100 az – a1-gyel szokás jelölni; az 1-es számjegy alsó index szokott lenni.)

6 raktár van, a 6. 200 m²-es. A 100-at 5*-ször szoroztuk q-val, hogy a 6. raktár (a mértani sorozat 6. tagjának) értékét megkapjuk.

100 * q^5 = 200

q^5 = 200 / 100 = 2.

q = ötödik gyök alatt (2) = 2^(1/5) ≈ 1,148698.

A 2. raktár területe 100 * 1,148698 =114,8698 m².

A 3. raktár területe 114,8698 * 1,148698 ≈ 131,95 m².

A 4. raktár területe: … ezt így végig lehetne számolni, de többszáz tagú sorozatnál nem lenne jó.

A mértani sorozatnak van egy összegképlete: Sn = a1 * (q^n – 1) / (q-1).

Ebben a példában n = 6 (6 tagról van szó).

Sn = 100 * (1,148698^6 – 1) / (1,148698 -1) ≈ 100 * (2,29739 – 1) / (0,148698) = 100 * 1,29739 / 0,148698 ≈ 872,5

V á l a s z : a teljes raktárterület 872,5 m².

②

Az a) kérdésre a válasz rögtön adódik: számtani sorozatról van szó.

Számtani sorozat olyan számsorozat, ahol a szomszédos tagok különbsége állandó. (Ezt az állandót d-vel szokás jelölni.)

A sorozat 1. tagja a1 = 30. Az állandó különbség d = 5.

Az egyes években 30, 35, 40 … lakást építettek. 10 szám esetén, 30-tól, 5-ésvel elszámolni a 10. tagig nem nagy dolog. De ha 2015-ig kéne?

A számtani sorozatnak is van összegképlete: Sn = (a1 + an) * n / 2 = (30 + an) * 10 / 2.

„an” értéke is kiszámolható an = a1 + ((n – 1) * d) = 30 + ((10 – 1) * 5) = 30 + (9 * 5) = 30 + 45 = 75. (Tehát, a 10. évben 75 lakás épült.)

„Sn” képletébe behelyettesítve: Sn = (30 + 75) * 10 / 2 = 105 * 10 / 2 = 1050 / 2 = 525.

V á l a s z :

a) Számtani sorozatról van szó.

b) 10 év alatt 525 lakást épített fel a cég.

A másik cég mértani sorozat szerinti mértékben épített évről-évre, a ④ példához hasonlóan alakul a sorozat, de itt nem 5%-ról, hanem 10%-ról van szó, azaz 10/100-ról, ami 1/10. Így, évről-évre 1,1-szeresét építették, az előző évinek.

A mértani sorozat összegképlete szerepel a ③ példában.

Sn = 30 * (1,1^10 – 1) / (1,1 – 1) ≈ 30 * (2,59 – 1) / 0,1 = 30 * 1,59 / 0,1 = 477

V á l a s z :

c) A másik vállalat, 10 év alatt, 477 lakást épített.

①

Az 1. évben

- az 1. hó 1. napján betett pénz 12 hónapig kamatozik, a kamat 12 * 1% = 12%; 10000 * 12/100 = 10000 * 0,12 = 1200 batka.

- a 2. hó 1. napján betett pénz 11 hónapig kamatozik, a kamat 11 * 1% = 11 %; 10000 * 0,11 = 1100 batka.

- a 3. hó 1. napján betett pénz 10 hónapig kamatozik, a kamat 10 * 1% = 10 %; 10000 * 0,10 = 1000 batka.

…

- a 12. hó 1. napján betett pénz 1 hónapig kamatozik, a kamat 1 * 1% = 1 %; 10000 * 0,01 = 100 batka.

A kamatok számtani sorozatot képeznek, az 1. tag 1200, a 12. tag 100.

Az összegképlettel: Sn = (1200 + 100) * 12 / 2 = 1300 * 6 = 7800 batka.

Az összes kamat tehát 7800 batka, az összes befizetett összeg 12 * 10000 = 120000 batka.

V á l a s z :

a) Az első év végén 120000 + 7800 = 127800 batka lesz.

A 2. év úgy indul, hogy az 1. napon betételre kerül 10000 batka, és a számlán már van 127800 batka = 137800 batka. Ennek 12 havi kamata (ami majd év végén lesz jóváírva): 137800 * 0,12 = 16536 batka.

…

A 12. hónapban 137800 + 11*10000 = 247800 batka lesz a számlán. Ennek 1 havi kamata 247800 * 0,01 =2478 batka.

Az előző évihez hasonlóan, a számtani sorozatot képező kamatok összege: Sn = (16536 + 2478) * 12 / 2 = 19014 * 6 = 114084.

Az első év végén volt 127800 batka, a 2. évben hozzá lett fizetve 12 * 10000 = 120000 és a 2. évben, az év végén hozzáírt kamat 114084 batka.

V á l a s z :

b) A 2. év végén 127800 + 120000 + 114084 = 361884 batka lesz a számlán.