2 11. osztályos feladat megoldása? 1. Bizonyítsd be, hogy minden n pozitív egész szám esetén 18 osztója 2^2n (kettő a két n-ediken) +24n-10-nek. (nem fért ide ki, a másik lent)

Hmm, a parallelogrammásban valamit nagyon nem érthetek, mert szerintem van ellenpélda. Szóval nem igaz az állítás.

Az oszthatóságos: Nézzük teljes indukcióval:

n=1 esetén 2² + 24 - 10 = 18, igaz.

Tegyük fel, hogy n=k-ra teljesül a feltétel, vagyis hogy 2^(2k)+24k-10 = 18m

Nézzük n=k+1-re:

2^(2k+2) + 24(k+1) - 10 = 4·2^(2k) + 24k + 14 = 4·(2^(2k)+24k-10) - 3·24k + 54

Az indukciós feltétel szerint a zárójeles rész éppen 18m, tehát osztható 18-cal. 3·24=72=4·18, 54=3·18, ezért a teljes kifejezés tényleg osztható 18-cal.

Ezzel az eredeti tételt is igazoltuk.

... és persze nem elég látni a szemünkkel, hogy ismétlődik, hanem be kell bizonyítani.

Ami a 24n esetén egyszerű: úgy valahogy megy, ahogy írtad, de nem a 9-cel osztva 1,2,3, hanem a 3-mal osztva 0,1,2 maradékot adó n-eket kell megnézni. Gyorsan kijön a bizonyítás...

A 2^(2n) esete már picit bonyolultabb. Ott mondjuk azt kell először bizonyítani, hogy

  2^(2n) ≡ 2^(2(n+3)) (mod 9)

és akkor már elég tényleg megnézni azt a 3 számot. Ezt pedig viszonylag egyszerű bizonyítani, mert 2⁶ = 64 és

  64·k ≡ k (mod 9)

hisz 64 = 9·7+1

De ezek nélkül az általad írt bizonyítás erősen hiányos.

Megjegyzés: nem kell ilyen cifra kongruenciákat írni, mint amit én írtam (úgy hívják a 3 vonalas egyenlőségjelet: ≡). Középiskolában azt legfeljebb emelt matekon tanítják, és simán csak azt jelenti, hogy a két oldal maradéka 9-cel osztva egyforma. Csak ha úgy írod, akkor hosszabb lesz a szöveg.