Határozzuk meg adott R sugarú gömbbe írt egyenes hengerek közül azt, amelynek legnagyobb a térfogata; palástjának területe. (? )

Vedd a kör és a henger közös fősíkmetszetét, tehát rajzolj egy kört és bele egy téglalapot. Mondjuk rajzold úgy, hogy a téglalap oldalai párhozamosak legyenek a lap oldalaival. Ebben az esetben legyen a téglalap "alsó" oldala a henger alapjának átmérője, a másik pedig a henger magassága.

Kössük össze a téglalap középpontját az alsó oldal végpontjaival, ekkor egy egyenlő szárú háromszöget kapunk, ahol a szárak hossza R, mivel ezek egyben a kör sugarai is. Legyen a két sugár hajlásszöge Ł, ekkor számoljuk ki a háromszög alakjának és alaphoz tartozó magasságának hosszát.

Húzzuk be az alaphoz tartozó magasságot, ekkor a háromszöget két derékszögű háromszögre bontottuk, ahol vízszintes befogójával szemközti szög Ł/2 (egyenlő szárú háromszög esetén az alaphoz tartozó magasság felezi a szárszöget). Ismerjük az átfogó hosszát, tehát a befogók hossza:

sin(Ł/2)=x/R, vagyis R*sin(Ł/2)=x, ez lesz az egyenlő szárú háromszög alapjának a fele, egyben a henger alapkörének sugara.

cos(Ł/2)=m/R, vagyis R*cos(Ł/2)=m, ennek vesszük a kétszeresét, akkor megkapjuk a henger magasságát, vagyis 2*R*cos(Ł/2) lesz.

Így már minden adott, hogy kiszámoljuk a henger térfogatát (Ł függvényében):

V=alapterület * testmagasság=(R*sin(Ł/2))^2 *pí*2*R*cos(Ł/2)=

=R^3 * (sin(Ł/2))^2 *2*pí*cos(Ł/2)

Tudjuk, hogy sin(2x)=2*sin(x)*cos(x), itt most x=Ł/2, tehát 2*sin(Ł/2)*cos(Ł/2)=sin(Ł):

=R^3 * sin(Ł)*sin(Ł/2)*pí

Erről nem nehéz kitalálni, hogy Ł=90° esetén lesz a legnagyobb; sin(Ł)-nak Ł=90°-ban ha kisebb, mint 90° (de nagyobb, mint 0°), akkor sin(Ł) is kisebb, sin(Ł/2) is kisebb, és két kisebb (pozitív) szám szorzata biztosan kisebb. Tehát a henger térfogata:

=R^3* 1 * gyök(2)/2 *pí = R^3 *pí*gyök(2)/2 térfogategység.

Ha a palást területét akarjuk maximalizálni, akkor annak a területképletét kell felírni Ł függvényében, és megkeresni a maximumát:

T=alapkör kerülete * testmagasság=2*R*sin(Ł/2)*pí*R*cos(Ł/2)

Ahogy az előbb láttuk; 2*sin(Ł)*cos(Ł/2)=sin(Ł), így:

=R^2 *pí*sin(Ł)

Ennek szintén Ł=90° esetén lesz a maximuma, ekkor R^2*pí területegység lesz a palást.

Tehát ha vesszük a maximális térfogatú hengert, akkor maximális területű palástot kapunk.

Ha valami nem érthető, kérdezz!