Mi lesz az alábbi alterek összege, és az összeg dimenziója?

1.

Az U2 egyenese nem azonos U1-gyel (ez behelyettesítéssel rögtön látszik), ezért az alterek összege az a sík, amit a két egyenes kifeszít.. Annak a dimenziója 2.

(Van egy olyan tétel is, hogy ha a két altérnek nincs közös része, mint most, akkor az összeg dimenziója az alterek dimenzióinak az összege lesz, vagyis 1+1=2)

Ha pontosabban kell megmondani, szóval ha kell a sík egyenlete is: (Nem biztos, hogy kell! Akkor ugorhatsz.)

Az U2 egyenese két sík metszeteként van megadva, csináljunk belőle irányvektort. Tudjuk, hogy a (0,0,0) ponton keresztülmegy az egyenes (ez egyrészt behelyettesítéssel látszik, másrészt nem is lehet máshogy, mert akkor nem lenne altér). Egy másik pontja mondjuk az, ahol x = -2:

-2 + y - 3z = 0

-4 + y - z = 0

------ ebből gyorsan kijön, hogy

y = 5

z = 1

(Hogy miért pont x=-2-t mondtam? Mert kiszámoltam x=1-gyel is, és úgy negatív törtek jöttek ki, és az csúnyább.)

Vagyis a két irányvektor a (-2; 5; 1) és a (-1; 2; 3). Ennek a két vektornak a lineáris kombinációi feszítik ki az U1 + U2 alteret (ami persze sík).

Ezek keresztszorzata merőleges lesz a síkra:

(-2; 5; 1) × (-1; 2; 3) = (13; 5; 1)

(Ha ilyen síkokat kell számolni, akkor tanuld meg, hogy hogyan lehet gyorsan keresztszorzást csinálni; a mátrix-determináns talán a legjobb, lásd pl. itt, a "Determinánsalak" címszónál:

[link]

Szóval megvan a síkra merőleges vektor, a normálvektor. A sík egy pontja az origó, ebből a sík egyenlete baromi egyszerű:

13x + 5y + z = 0

(Úgy jön ki, hogy (x,y,z) a sík altalános pontja, ennek és a normálvektornak a skalárszorzata nulla kell legyen, mert merőlegesek.)

2.

Az U1 altér egy sík.az U2 pedig egy egyenes.

Az egyenes nincs benne a síkban, ez behelyettesítéssel rögtön látszik (x-y+z ≠ 0).

Ezért U1 ∩ U2 = 0

Ekkor összegük dim(U1)+dim(U2)=3 dimenziós lesz, vagyis öszegük maga az ℝ³