Log a ( (b²+c²) / (b+c) ) + log b ( (a²+c²) / (a+c) ) + log c ( (a²+b²) / (a+b) ) >=3?

Mivel 3/10<lg2<1/3 és 2/3<1-lg2<7/10 be kell látni, hogy

(1/3)² + (2/3))²<= (lg2)²+(1-lg2)²<=(3/10)² + (7/10)²

#3 vagyok, a második példának egy lehetséges megoldása:

A baloldalt a következőképp alakítjuk át:

(lg2)^2+(lg5)^2=(lg2)^2+[lg(2*2.5)]^2=(lg2)^2+[lg2+lg2.5]^2=(lg2)^2+[2*lg2+lg1.25]^2.

Be kell tehát látni, hogy

(lg2)^2+[2*lg2+lg1.25]^2>=5/9.

Általános x,y>0 esetén ha x>>y, akkor jó becslést ad az

(x+y)^2>x^2+2xy képlet. Jelen esetben x=2*lg2 és y=lg1.25, vagyis a baloldalt lényegében kicsit csökkentjük, így elég belátni az

5*(lg2)^2+4*lg2*lg1.25>=5/9

egyenlőtlenséget. Mivel 9/100<lg1.25, ezért elég belátni hogy:

5*(lg2)^2+(9/25)*lg2>=5/9.

A baloldalt tovább csökkentjük: mivel lg2>3/10, ezért elég belátni hogy:

5*(3/10)^2+27/250>=5/9, amiből következik hogy:

279/500>=5/9 és

279*9>=2500

2511>=2500.

Így az állítást igazoltuk.

Megjegyzem az 9/100<lg1.25, ill. lg2>=3/10 egyenlőtlenségek igazolása sem egyszerű feladat elemi úton.

Találtam egy oldalt, ahol megvannak a részletes levezetések:

[link]