Milyen határok között lehet ennek a háromszögnek a kerülete?

Lökött egy feladat! :-)

Amilyen kevés adattal indul, olyan sokat kell molyolni vele a végeredményig. :-)

A feltételek

1.) sinα = 2a*sinß

2.) R = √3/6

A sugár ismeretében az oldalak

a = 2R*sinα

b = 2R*sinß

c = 2R*sinγ = 2R*sin[180 - (α + ß)]

c = 2R*sin(α + ß)

Ezekkel a kerület

K = 2R[sinα + sinß + sin(α + ß)]

Az összeget kifejtve

K = 2R(sinα + sinß + sinα*cosß + cosα*sinß)

Az első feltételt behelyettesítve

K = 2R(2a*sinß + sinß + 2a*sinß*cosß + cosα*sinß)

Kiemelések után lesz

(A) K = 2R(2a + 1)*sinß(1 + cosß)

Ezt egyelőre nem bántjuk, majd később lesz szerepe.

Lássuk, mit lehet kihozni a megadott értékekből.

Az 1.) feltételből

sinα/sinß = 2a

A szinusz-tételből

sinα/sinß = a/b

A két jobb oldal egyenlőségéből

2a = a/b

b = 1/2

********

A sugárral kifejezett oldal képletébe behelyettesítve

b = 2R*sinß

1/2 = (2√3/6)*sinß

ebből

sinß = √3/2

vagyis

ß = 60°

*********

Ezzel már van egy oldal és a vele szemben fekvő szög.

Ha még egy oldalt és a szemben fekvő szögét összeszedjük, már sínen vagyunk.:-)

Helyettesítsünk be az 1.) feltételbe

sinα = 2a*sinß

sinα = 2a*√3/2

azaz

sinα = a√3

ebből

a = sinα/√3

Ezek után helyettesítsünk be a kerületre kapott (A) képletbe (R, a, és ß értékét)

K = 2R(2a + 1)*sinß(1 + cosß)

A részleteket mellőzve a következő adódik

K = (√3/2)*sinα + 3/4

Ennek a deriváltja

K' = (√3/2)*cosα = 0

amiből

cosα = 0

ill

α = 90°

======

Visszahelyettesítve az 'a' kifejezésébe

a = sinα/√3

a = 1/√3

a = √3/3

**********

Összegezve az eddigieket: egy 90-60-30 fokos derékszögű háromszöggel van dolgunk, amelynek

az átfogója = √3/3

a hosszabbik befogója = 1/2

így

a rövidebb befogója az átfogó fele = √3/6

ami egyben a köréírt kör sugara is.

Ezek után a keresett kerület:

K = √3/3 + 1/2 + √3/6

K = (1 + √3)/2

===========

Lehet, hogy elnéztem valamit, de nálam a fenti érték az egyetlen, ez a kerület maximuma és a minimuma is. :-)

Felmerülhet még a kérdés, hogy miért nem a kerület (A) kifejezésének kerestem meg a szélső értékét ß változóval.

Megkerestem: a végeredmény egy másodfokú egyenlet, melynek a két gyöke: ß = 60° és ß = 180° ...

Remélem, lesz még másik megoldás is.

DeeDee

**********