Ha egy háromszög két oldalát ismerjük, hogyan számoljuk ki a harmadik oldalt, hogy a beírt és körülírt körök sugarainak különbsége a lehető legkisebb legyen?

Mivel egyelőre nincs válasz, elküldöm az enyémet, hogy legyen mit "megköpködni"! :-)

A jelölések

R - a háromszög köré írható kör sugara

r - a háromszögbe írható kör sugara

a - az ismeretlen harmadik oldal

s - a háromszög fél kerülete [(a + b + c)/2]

α - a két ismert oldal által bezárt szög fele!

A több lehetséges összefüggés közül a következőket választottam kiindulásul:

a = 2R*sin2α

r = (s - a)*tgα

Az elsőből

R = a/2*sin2α

így a két sugár különbsége

k = R - r = a/2*sin2α - (s - a)*tgα

Összevonás után

k = [a - 4(s - a)*sin²α]/2*sin2α

4(s - a) = A

helyettesítéssel a képlet

k = (a - A*sin²α)/2*sin2α

Az 'α' szerinti deriválás után a következőt kaptam:

(1 - 2*cos²α)(a + A*sin²α) = 0

Az

a + A*sin²α = 0

egyenlet nem ad valós megoldást, az

1 - 2*cos²α = 0

egyenletből

cosα = √2/2

így

α = 45°

és

2α = 90°

======

vagyis a két ismert oldal derékszöget zár be egymással!

Tehát az ismert két oldal egy derékszögű háromszög befogói, a keresett 'a' oldal pedig a háromszög átfogója.

Nagyon jó lenne más megoldást is látni, biztos van ennél szebb, rövidebb is.

DeeDee

**********

Valóban, nem derékszögű a háromszög, de a teszt-adatok sem pontosak:

[link]

(Szép levezetésem nincs, csak ezt látom)

Az őrületbe kerget ez a feladat! :-)

Zsiga!

Vedd úgy, hogy a megadott oldalhosszak jók.

Ezekkel szerkeszd meg a háromszöget, számold ki a beírt és a körülírt kör sugarát, majd rajzold is meg a köröket.

Aztán nézd meg, milyen értéket ad a programod a két középpont távolságára.

Ha egyezik a

d² = R(R - 2r)

ahol

d - a két középpont távolsága

R - a körülírt

r - a beírt kör sugara.

összefüggésből kapott értékkel, akkor jól számolt a progid.

Ha stimmel, akkor a nagy kör bármelyik pontjáról indulva egy záródó háromszöget kell kapnod, melynek csúcsai a körülírt körön vannak és az oldalak érintik a beírt kört.

A kérdezőnek:

Én a 7.5000, 5.1480, 6.0000 adatokkal próbáltam ki, és az adódott, hogy nem lehet derékszögű megoldás.

De a másikban, amit az előző válaszoló rajzolt, abban lehet derékszöget rajzolni!

Érdekelne, hogy honnan vetted az adatokat. :-)

Végiggondolva a feladatot, ha két oldalt szabadon választhatok, akkor csak a köztük levő szög befolyásolja a megoldást.

A szög változtatásával a sugarak is változnak, tehát valahol van egy helyzet, ahol a különbségük minimális.

Sajnos, eddigi próbálkozásaim nem hoztak eredményt, a válaszomban leírt megoldás egy algebrai hiba eredményeként adódott.

Valamit nem veszek észre, de addig nem nyugszom, míg meg nem lesz a megoldás! :-)

DeeDee

**********

DeeDee!

Félek, hogy nem egy feladatról beszélünk.

"Aztán nézd meg, milyen értéket ad a programod a két középpont távolságára. "

Az eredeti feladatban "sugarainak különbsége" van kiírva. (Tehát nem a középpontok távolsága!)

Ennyit hirtelen válaszként, de majd részletesen is végig gondolom. A teszt adatok a kérdező egyik kommentjéből vannak. Itt van a másik is:

[link]