Integrálszámítás. Valaki levezetné nekem?

Nincs mit rajta levezetni. Ránézésre azt kell látni hogy ez tipikusan f '*f^n alakú. Arra meg van képlet.

Érthető?

Tök jó, amit #1 írt, de én más irányból mutatom a megoldást:

(Én mást nevezek majd f-nek, mint #1. Valójában nálam g lesz az, ami nála f, de mindegy...)

Nézzük először az összetett függvény deriváltját:

Ismert, hogy

f(g(x))' = f '(g(x)) · g'(x)

Vagyis a belső függvény deriváltja megjelenik szorzóként.

Integráláskor érdemes figyelni erre, hogy van-e olyan, hogy egy függvény valamint a deriváltja is ott van valahol. Most pl. 4-x² deriváltja -2x. Maga a -2x nem szerepel szorzóként, de az x igen, és egy konstans szorzótól eltekintve ugyanaz.

Mielőtt továbbmegyünk ezzel a feladattal, nézzünk egy egyszerűbbet:

∫ x·cos(x²) dx

Itt is látunk egy x²-et, valamint a deriváltját, a 2x-et; pontosabban csak x-et, de az mindegy, mert így is írhatjuk:

1/2·∫2x·cos(x²) dx

és máris ott van a 2x.

Ez már gyanús kell legyen, hogy hátha összetett függvény deriváltja van az integrál belsejében.

Vagyis hátha g(x) = x², g'(x) = 2x, f '() pedig a koszinusz.

A koszinuszról tudjuk, hogy a szinusznak a deriváltja, vagyis az f() külső függvény a szinusz lehet.

Ha ez igaz, akkor sin(x²) lesz az f(g(x)). Most már csak ellenőrizni kell deriválással, ki is jön, kész vagyunk.

Visszatérve a mostani feladatra... Itt tartunk tehát:

-1/2 ∫ -2x / √(4-x²) dx

Az a gyanúnk tehát, hogy g(x) = 4-x², g'(x) = -2x, f '() pedig az 1/√ függvény. Van ilyen? Mi az, aminek a deriváltja az 1/√? Hát a √, csak egy szorzó különbözik megint, hisz √x deriváltja 1/2· 1/√x. Szorzónk ráadásul van is:

-∫ (-2x)·(1/2)/√(4-x²) dx

Ez az integrál belsejében már tényleg az f(g(x)) deriváltja, ahol f() a √, szóval a teljes függvény √(4-x²), és persze nem szabad elfeledkezni az integrálon kívülre vitt előjelről.

---

Amit #1 mondott, nagyon hasonlít a fentire, de azért más. Röviden levezetem:

f(x)^n is összetett függvény, deriváltja f(x)^(n-1) · f '(x)

Most f '(x) = -2x, f(x) = 4-x², az n-1 hatvány a -1/2 (az lesz az 1/sqrt), ezért n=1/2

A végeredmény persze ugyanaz, mint a fenti levezetésé.

---

És persze határozatlan integrálnál nem szabad elfeledkezni a +C-ről sem!

Csak elrontottam a végét... Helyesen:

f(x)^n is összetett függvény, deriváltja n·f(x)^(n-1) · f '(x)

A folytatás értelemszerűen alakul...

Most pl. van ott 4-x² is meg sqrt is, ezért összetett. Van ott több függvény is (reciprok), de már csak ennyi is elég.

Vagy mondjuk sin(x²)-ben is van egy hatványfüggvény is, meg egy szinusz is. Vagy sin²x: ebben is ugyanazok vannak, csak fordított sorrendben.